Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）根据已知及正方形的性质，利用ASA即可判定△ABE≌△DAF；
（2）根据正方形的性质及直角三角形的性质可得到DF的长，根据勾股定理可求得AF的长，从而就不难求得EF的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△ABE≌△DAF．

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB=30°，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠AGB=30°，
∵∠1+∠4=∠DAB=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AFD=180°-（∠1+∠3）=90°，
∴DF⊥AG，
∴DF=

1

2

AD=1，
∴AF=

3

，
∵△ABE≌△DAF，
∴AE=DF=1，
∴EF=

3

-1．
故所求EF的长为

3

-1．

点评：此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的综合运用．