Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论： ①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=ADCM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵E为CD边的中点， ∴DE=CE，
又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=FE，
又∵ME⊥AF，
∴ME垂直平分AF，
∴AM=MF=MC+CF，
∴AM=MC+AD，故①正确；
当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，
设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，
在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2 ，
解得a=1.5，即BM=1.5，
∴由勾股定理可得AM=2.5，
∴DE+BM=2.5=AM，
又∵AB＜BC，
∴AM=DE+BM不成立，故②错误；
∵ME⊥FF，EC⊥MF，
∴EC2=CM×CF，
又∵EC=DE，AD=CF，
∴DE2=ADCM，故③正确；
∵∠ABM=90°，
∴AM是△ABM的外接圆的直径，
∵BM＜AD，
∴当BM∥AD时， = ＜1，
∴N不是AM的中点，
∴点N不是△ABM的外心，故④错误．
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．

根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据当AB=BC时，四边形ABCD为正方形进行判断，即可得出当AB＜BC时，AM=DE+BM不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=ADCM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心．