Question

【题目】在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图所示：

∵AC=BC，OB=OD，

∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，

∴∠A=∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵OD是⊙O的半径，

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴ABC=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD=60°，

∵DF⊥OD，

∴∠ODG=90°，

∴∠G=30°，

∴OG=2OD=2×6=12，

∴DG= OD=6 ，

∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π

【解析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证出DF⊥OD，即可得出结论；（2）证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6 ，阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积，即可得出答案．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和扇形面积计算公式的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能正确解答此题．