题目内容

【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,过点A(﹣ ,0)的两条直线分别交y轴于B、C两点,且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根

(1)求线段BC的长度;
(2)试问:直线AC与直线AB是否垂直?请说明理由;
(3)若点D在直线AC上,且DB=DC,求点D的坐标;
(4)在(3)的条件下,直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵x2﹣2x﹣3=0,

∴x=3或x=﹣1,

∴B(0,3),C(0,﹣1),

∴BC=4


(2)

解:∵A(﹣ ,0),B(0,3),C(0,﹣1),

∴OA= ,OB=3,OC=1,

∴OA2=OBOC,

∵∠AOC=∠BOA=90°,

∴△AOC∽△BOA,

∴∠CAO=∠ABO,

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°,

∴∠BAC=90°,

∴AC⊥AB


(3)

解:设直线AC的解析式为y=kx+b,

把A(﹣ ,0)和C(0,﹣1)代入y=kx+b,

解得:

∴直线AC的解析式为:y=﹣ x﹣1,

∵DB=DC,

∴点D在线段BC的垂直平分线上,

∴D的纵坐标为1,

∴把y=1代入y=﹣ x﹣1,

∴x=﹣2

∴D的坐标为(﹣2 ,1)


(4)

解:设直线BD的解析式为:y=mx+n,直线BD与x轴交于点E,

把B(0,3)和D(﹣2 ,1)代入y=mx+n,

解得

∴直线BD的解析式为:y= x+3,

令y=0代入y= x+3,

∴x=﹣3

∴E(﹣3 ,0),

∴OE=3

∴tan∠BEC= =

∴∠BEO=30°,

同理可求得:∠ABO=30°,

∴∠ABE=30°,

当PA=AB时,如图1,

此时,∠BEA=∠ABE=30°,

∴EA=AB,

∴P与E重合,

∴P的坐标为(﹣3 ,0),

当PA=PB时,如图2,

此时,∠PAB=∠PBA=30°,

∵∠ABE=∠ABO=30°,

∴∠PAB=∠ABO,

∴PA∥BC,

∴∠PAO=90°,

∴点P的横坐标为﹣

令x=﹣ 代入y= x+3,

∴y=2,

∴P(﹣ ,2),

当PB=AB时,如图3,

∴由勾股定理可求得:AB=2 ,EB=6,

若点P在y轴左侧时,记此时点P为P1

过点P1作P1F⊥x轴于点F,

∴P1B=AB=2

∴EP1=6﹣2

∴sin∠BEO=

∴FP1=3﹣

令y=3﹣ 代入y= x+3,

∴x=﹣3,

∴P1(﹣3,3﹣ ),

若点P在y轴的右侧时,记此时点P为P2

过点P2作P2G⊥x轴于点G,

∴P2B=AB=2

∴EP2=6+2

∴sin∠BEO=

∴GP2=3+

令y=3+ 代入y= x+3,

∴x=3,

∴P2(3,3+ ),

综上所述,当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时,点P的坐标为(﹣3 ,0),(﹣ ,2),(﹣3,3﹣ ),(3,3+ ).


【解析】(1)解出方程后,即可求出B、C两点的坐标,即可求出BC的长度;(2)由A、B、C三点坐标可知OA2=OCOB,所以可证明△AOC∽△BOA,利用对应角相等即可求出∠CAB=90°;(3)容易求得直线AC的解析式,由DB=DC可知,点D在BC的垂直平分线上,所以D的纵坐标为1,将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标;(4)A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形,可分为以下三种情况:①AB=AP;②AB=BP;③AP=BP;然后分别求出P的坐标即可.

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