Question

已知二次函数y=ax²+bx+c，满足当x=2时函数有最小值．
（1）求b+4a的值；
（2）若抛物线与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，与y轴交于点C，O为坐标原点．且tan∠CAO-tan∠CBO=1．求a、b的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据二次函数取最值时，x=-

b

2a

，进而得出b+4a的值；
（2）利用根与系数的关系得出x₁+x₂=-

b

a

=-

-4a

a

=4，x₁x₂=

c

a

，进而得出tan∠CAO-tan∠CBO=1，则

c

x1

-（-

c

x2

）=1，进而求出即可．

解答：解：（1）∵当x=2时函数有最小值，
∴-

b

2a

=2，
∴b=-4a，
∴b+4a=0；

（2）∵抛物线与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），且由（1）知，b=-4a，
∴x₁+x₂=-

b

a

=-

-4a

a

=4，x₁x₂=

c

a

，
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，
∴

c

x1

-（-

c

x2

）=1，
∴

1

x1

+

1

x2

=

1

c

，
∴

x1+x2

x1x2

=

1

c

，
∴

4

c a

=

1

4

，
∴

1

c

×

c

a

=4，
∴a=

1

4

，
∴b=-4×

1

4

=-1．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系得出a的值是解题关键．