题目内容

在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距8
3
km的C处.
(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果);
(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.
(1)∵∠1=30°,∠2=60°,
∴△ABC为直角三角形.
∵AB=40km,AC=8
3
km,
∴BC=
AB2+AC2
=
402+(8
3
)
2
=16
7
(km).
∵1小时20分钟=80分钟,1小时=60分钟,
16
7
80
×60=12
7
(千米/小时).

(2)能.
理由:作线段BR⊥x轴于R,作线段CS⊥x轴于S,延长BC交l于T.
∵∠2=60°,
∴∠4=90°-60°=30°.
∵AC=8
3
(km),
∴CS=8
3
sin30°=4
3
(km).
∴AS=8
3
cos30°=8
3
×
3
2
=12(km).
又∵∠1=30°,
∴∠3=90°-30°=60°.
∵AB=40km,
∴BR=40•sin60°=20
3
(km).
∴AR=40×cos60°=40×
1
2
=20(km).
易得,△STC△RTB,
所以
ST
RT
=
CS
BR

ST
ST+20+12
=
4
3
20
3

解得:ST=8(km).
所以AT=12+8=20(km).
又因为AM=19.5km,MN长为1km,∴AN=20.5km,
∵19.5<AT<20.5
故轮船能够正好行至码头MN靠岸.
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