Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°(0＜m°＜180º） 得线段PQ.
 
（1）当点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点Q落在边CD上（C点除外），且∠ADB=n°.
①探究m与n之间的数量关系；
②当点P在线段OB上运动时，存在点Q，使PQ=QD，直接写出n的取值范围.

Answer 1

（1）如下图；（2）m+2n=180；（3）30≤n＜45

试题分析：（1）作AD的垂直平分线，与BD的交点P即为所求；
（2）①连接PC. 由PC=PQ，得∠3=∠4，根据菱形的性质可得∠3=∠PAD，即可得到∠4=∠PAD，再根据∠4+∠PQD=180°即可求得结果；②根据旋转的性质结合菱形的性质求解即可.
（1）如图所示：

（2）①连接PC. 由PC=PQ，得∠3=∠4
由菱形ABCD得∠3=∠PAD
所以得∠4=∠PAD，
而∠4+∠PQD=180°，
所以∠PAD+∠PQD=180°，
所以m+2n=180；
②30≤n＜45．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．