Question

【题目】已知在⊙O中，直径AB⊥弦CD于G，E为DC延长线上一点

（1）如图1，BE交⊙O于点F，求证：∠EFC＝∠BFD；

（2）如图2，当CD也是直径，EF切⊙O于F，连接DF．若tan∠D＝，求sin∠E的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接AD，BD，由圆的性质可得∠CFE＝∠EDB，再证明∠ADB＝∠AGD＝90°，可得∠DAB＝∠GDB，则∠EFC＝∠BFD得证；

（2）证明△CEF∽△FED，可得EF2＝CEDE，设CF＝a，则DF＝3a，由勾股定理可得CD＝，设CE＝x，则EF＝3x，可求出CE＝和EF＝，可用a表示OF的长，则sin∠E的值可求出．

（1）证明：如图1，连接AD，BD，

∵四边形CDBF为圆内接四边形，

∴∠CFE＝∠EDB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠ABD＝90°，

∵AB⊥CD，

∴∠AGD＝90°，

∴∠GDB+∠ABD＝90°，

∴∠DAB＝∠GDB，

∴∠DAB＝∠CFE，

∵∠DAB＝∠BFD，

∴∠EFC＝∠BFD；

（2）解：如图2，连接OF，CF，

∵EF是⊙O的切线，

∴OF⊥EF，

∴∠EFO＝90°，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CFD＝90°，

∴∠EFC＝∠OFD，

∵OF＝OD，

∴∠ODF＝∠OFD，

∴∠ODF＝∠EFC，

∵∠CEF＝∠FED，

∴△CEF∽△FED，

∴，

∴EF2＝CEDE，

∵tan∠D＝＝，

设CF＝a，则DF＝3a，由勾股定理可得CD＝，

设CE＝x，则EF＝3x，

∴，

解得：x＝，

∴，

∴OE＝CE+OC＝，

∴＝＝，

∴sin∠E＝．