Question

已知⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），CAB="90°," AC=AB，顶点A在⊙O上运动．

（1）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；（2）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．

Answer 1

（1），其中-1≤x≤1，S的最大值为，最小值为；（2）或.

试题分析：（1）过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求AE的长，然后再在Rt△BAE中求出AB的长，进而求出面积的表达式，结合定义域，根据一次函数的性质确定最大最小值；
（2）相切时有两种情况，在第一象限或者第四象限，连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A点坐标，AB所在直线对应的函数关系式很容易就能求出．
试题解析：（1）如图1，连接OA，过点A作AE⊥OB于点E，
在Rt△OAE中，，
在Rt△BAE中，，
∴，其中-1≤x≤1.
∴当x=-1时，S的最大值为，当x=1时，S的最小值为.

（2）①当点A位于第一象限时（如图1），连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，
∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°.
又∵∠CAB=90°，∴∠CAB+∠OAB=180°.∴点O、A、C在同一条直线.
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°.
在Rt△OAE中，OE=AE=，点A的坐标为（，）.
又∵B的坐标为（，0），∴过A、B两点的直线为.
②当点A位于第四象限时（如图2），点A的坐标为（，），
∵B的坐标为（，0），∴过A、B两点的直线为.
综上所述，过A、B两点的直线为或.