题目内容

【题目】如图①,点O为直线AB上一点,射线OC⊥AB于O点,将一直角三角板的60°角的顶点放在点O处,斜边OE在射线OB上,直角顶点D在直线AB的下方.

(1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②,使一边OE在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,问:直线OD是否平分∠AOC?请说明理由;

(2)将图①中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线OD恰好平分∠AOC,则t的值为________;(直接写出结果)

(3)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③,使OD在∠AOC的内部,请探究:∠AOE与∠DOC之间的数量关系,并说明理由.

【答案】(1)直线OD不平分∠AOC,理由见解析;(2)3或39;(3)∠DOC-∠AOE=30°,理由见解析.

【解析】试题分析:(1)先根据角平分线的性质得到,∠BOE=45°,于是∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°,进而求出∠COM与∠AOM的值,∠AOM≠∠COM,直线OD不平分∠AOC;

(2)分OD与OD的延长线平分∠AOC两种情况;

(3)∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD,∠DOC-∠AOE=(90°-∠AOD)-(60°-∠AOD)=30°.

试题解析:(1)直线OD不平分∠AOC,理由:因为OE平分∠BOC,所以∠BOE=45°,∠BOD=∠DOE-∠BOE=60°-45°=15°,延长DO至M,则∠COM=180°-90°-15°=75°,∠AOM=90°-75°=15°,即∠AOM≠∠COM;

(2)3或39;

延长DO,

∵∠AOC=90°,

当直线OD恰好平分角∠AOC,

∴∠AOM=∠COM=45°,

即逆时针旋转15°时DO延长线平分∠AOC,

由题意得,5t=15°

∴t=3,

当DO平分∠AOC,

∴∠DOA=45°

即逆时针旋转195°时DO平分∠AOC,

∴5t=195°,

∴t=39,

∴t=3或39;

(3)∠DOC-∠AOE=30°,

∵∠DOE=60°,∠AOC=90°,

∴∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD,

∴∠DOC-∠AOE=(90°-∠AOD)-(60°-∠AOD)=30°,

所以∠AOE与∠DOC之间的数量关系为:∠DOC-∠AOE=30°.

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