题目内容
【题目】如图①,点O为直线AB上一点,射线OC⊥AB于O点,将一直角三角板的60°角的顶点放在点O处,斜边OE在射线OB上,直角顶点D在直线AB的下方.
(1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②,使一边OE在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,问:直线OD是否平分∠AOC?请说明理由;
(2)将图①中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线OD恰好平分∠AOC,则t的值为________;(直接写出结果)
(3)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③,使OD在∠AOC的内部,请探究:∠AOE与∠DOC之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)直线OD不平分∠AOC,理由见解析;(2)3或39;(3)∠DOC-∠AOE=30°,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)先根据角平分线的性质得到,∠BOE=45°,于是∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°,进而求出∠COM与∠AOM的值,∠AOM≠∠COM,直线OD不平分∠AOC;
(2)分OD与OD的延长线平分∠AOC两种情况;
(3)∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD,∠DOC-∠AOE=(90°-∠AOD)-(60°-∠AOD)=30°.
试题解析:(1)直线OD不平分∠AOC,理由:因为OE平分∠BOC,所以∠BOE=45°,∠BOD=∠DOE-∠BOE=60°-45°=15°,延长DO至M,则∠COM=180°-90°-15°=75°,∠AOM=90°-75°=15°,即∠AOM≠∠COM;
(2)3或39;
延长DO,
∵∠AOC=90°,
当直线OD恰好平分角∠AOC,
∴∠AOM=∠COM=45°,
即逆时针旋转15°时DO延长线平分∠AOC,
由题意得,5t=15°
∴t=3,
当DO平分∠AOC,
∴∠DOA=45°
即逆时针旋转195°时DO平分∠AOC,
∴5t=195°,
∴t=39,
∴t=3或39;
(3)∠DOC-∠AOE=30°,
∵∠DOE=60°,∠AOC=90°,
∴∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD,
∴∠DOC-∠AOE=(90°-∠AOD)-(60°-∠AOD)=30°,
所以∠AOE与∠DOC之间的数量关系为:∠DOC-∠AOE=30°.
【题目】我市某中学举行“中国梦校园好声音”歌手大赛,初、高中部根据初赛成绩,各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图4所示.
(1)根据图示填写下表:
平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) | |
初中部 | 85 | ||
高中部 | 85 | 100 |
(2)结合两队成绩的平均数和中位数,分析哪个队的决赛成绩较好;
(3)计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.