题目内容

【题目】已知抛物线轴相交于A,B两点,其顶点为M,将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折,其余部分保持不变,得到一个新的图像,如图,当直线与此图像有且只有两个公共点时,则的取值范围为_____________.

【答案】-1<n<3

【解析】

首先根据解析式求与x轴交点A、B的坐标,确定二次函数的顶点M,由翻折性质求新抛物线顶点坐标为(1,4),得出新抛物线的解析式;求直线y=-x+n过两个边界点时对应的n的值,并求直线与新抛物线相切时的n值,继而得出n的取值范围.

解:当y=0时,y=x2-2x-3=0,

x-3)(x+1)=0,

x= -13,

∴A(-1,0),B(3,0),

y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

∴M(1,-4),

如图,作直线y= -x

分别过A、B作直线y=-x的平行线,

当直线y=-x+n经过A(-1,0)时,1+n=0,n=-1,

当直线y=-x+n经过B(3,0)时,-3+n=0,n=3,

n的取值范围为:-1<n<3,

根据题意得:翻折后的顶点坐标为(1,4),

∴翻折后的抛物线的解析式为:y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,

当直线y=-x+n与抛物线y=-x2+2x+3只有一个公共点时,

-x2+2x+3=-x+n

-x2+3x+3-n=0,

△=9+4(3-n)=0,

n=

综上所述:当直线y=-x+n与此图象有且只有两个公共点时,则n的取值范围为-1<n<3

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