题目内容
【题目】已知抛物线与
轴相交于A,B两点,其顶点为M,将此抛物线在
轴下方的部分沿
轴翻折,其余部分保持不变,得到一个新的图像,如图,当直线
与此图像有且只有两个公共点时,则
的取值范围为_____________.
【答案】或-1<n<3.
【解析】
首先根据解析式求与x轴交点A、B的坐标,确定二次函数的顶点M,由翻折性质求新抛物线顶点坐标为(1,4),得出新抛物线的解析式;求直线y=-x+n过两个边界点时对应的n的值,并求直线与新抛物线相切时的n值,继而得出n的取值范围.
解:当y=0时,y=x2-2x-3=0,
(x-3)(x+1)=0,
x= -1或3,
∴A(-1,0),B(3,0),
y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴M(1,-4),
如图,作直线y= -x,
分别过A、B作直线y=-x的平行线,
当直线y=-x+n经过A(-1,0)时,1+n=0,n=-1,
当直线y=-x+n经过B(3,0)时,-3+n=0,n=3,
∴n的取值范围为:-1<n<3,
根据题意得:翻折后的顶点坐标为(1,4),
∴翻折后的抛物线的解析式为:y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,
当直线y=-x+n与抛物线y=-x2+2x+3只有一个公共点时,
则,
-x2+2x+3=-x+n,
-x2+3x+3-n=0,
△=9+4(3-n)=0,
n=,
综上所述:当直线y=-x+n与此图象有且只有两个公共点时,则n的取值范围为或-1<n<3.