Question

如图，在直角梯形OBCD中，OB=8，BC=1，CD=10．
（1）求C，D两点的坐标；
（2）若线段OB上存在点P，使PD⊥PC，求过D，P，C三点的抛物线的表达式．

Answer 1

（1）过点C作CE⊥OD于点E，则四边形OBCE为矩形．
∴CE=OB=8，OE=BC=1．
∴DE=

CD2-CE2

=

102-82

=6．
∴OD=DE+OE=7．
∴C，D两点的坐标分别为C（8，1），D（0，7）．（4分）

（2）∵PC⊥PD，
∴∠1+∠2=90度．
又∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
∴Rt△POD∽Rt△CBP．
∴PO：CB=OD：BP．
即PO：1=7：（8-PO）．
∴PO²-8PO+7=0．
∴PO=1，或PO=7．
∴点P的坐标为（1，0），或（7，0）．（6分）
①当点P的坐标为（1，0）时，
设经过D，P，C三点的抛物线表达式为y=ax²+bx+c，
则

c=7 a+b+c=0 64a+8b+c=1

，
∴

a= 25 28 b=- 221 28 c=7

，
∴所求抛物线的表达式为：y=

25

28

x²-

221

28

x+7．（9分）
②当点P为（7，0）时，设经过D，P，C三点的抛物线表达式为y=a′x²+b′x+c′，
则

c′=7 49a′+8b′+c′=1 64a′+8b′+c′=1

，
∴

a′= 1 4 b′=- 11 4 c′=7

∴所求抛物线的表达式为：y=

1

4

x²-

11

4

x+7．（10分）
（说明：求出一条抛物线表达式给（3分），求出两条抛物线表达式给4分）