题目内容

【题目】如图,AB分别是⊙O的直径,AC是弦,DC是⊙O的切线,C为切点,AD⊥DC于点D.

(1)已知∠ACD=a,求∠AOC的大小;

(2)求证:AC2=AB·AD.

【答案】(1)2α;(2)证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)由CD是⊙O的切线得到∠OCD=90°,即∠ACD+∠ACO=90°,利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO,然后利用三角形的内角和即可证明题目的结论;

(2)如图,连接BC.由AB是直径得到∠ACB=90°,然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽Rt△ABC,接着利用相似三角形的性质即可解决问题.

试题解析:(1)∵CD是⊙O的切线,

∴∠OCD=90°,

即∠ACD+∠ACO=90°,①

∵OC=OA,

∴∠ACO=∠CAO,

∴∠AOC=180°-2∠ACO,即∠AOC+2∠ACO=180°,

两边除以2得:∠AOC+∠ACO=90°,②

由①,②,得:∠ACD-∠AOC=0,

即∠AOC=2∠ACD=2α;

(2)如图,连接BC.

∵AB是直径,

∴∠ACB=90°,

在Rt△ACD与Rt△ABC中,

∵∠AOC=2∠B,

∴∠B=∠ACD,

∴Rt△ACD∽Rt△ABC,

,即AC2=AB·AD.

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