题目内容

【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.

(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求证:BC= AB;
(3)点M是 的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MNMC的值.

【答案】
(1)

证明:∵OA=OC,

∴∠A=∠ACO.

又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,

∴∠A=∠ACO=∠PCB.

又∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACO+∠OCB=90°.

∴∠PCB+∠OCB=90°.

即OC⊥CP,

∵OC是⊙O的半径.

∴PC是⊙O的切线.


(2)

证明:∵AC=PC,

∴∠A=∠P,

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.

又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,

∴∠COB=∠CBO,

∴BC=OC.

∴BC= AB.

证明:∵AC=PC,

∴∠A=∠P,

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.

又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,

∴∠COB=∠CBO,

∴BC=OC.

∴BC= AB.

;证明:∵AC=PC,

∴∠A=∠P,

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.

又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,

∴∠COB=∠CBO,

∴BC=OC.

∴BC= AB.
(3)

解:连接MA,MB,

∵点M是 的中点,

∴∠ACM=∠BCM.

∵∠ACM=∠ABM,

∴∠BCM=∠ABM.

∵∠BMN=∠BMC,

∴△MBN∽△MCB.

∴BM2=MNMC.

又∵AB是⊙O的直径,

∴∠AMB=90°,AM=BM.

∵AB=4,

∴BM=

∴MNMC=BM2=8.


【解析】(1)已知C在圆上,故只需证明OC与PC垂直即可;根据圆周角定理,易得∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP;故PC是⊙O的切线;(2)AB是直径;故只需证明BC与半径相等即可;(3)连接MA,MB,由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM,进而可得△MBN∽△MCB,故BM2=MNMC;代入数据可得MNMC=BM2=8.

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