题目内容
已知:等腰三角形ABC的两腰AC和BC长为5厘米,底边AB长为6厘米,如图,现有一长为1厘米的线段MN在△ABC的底边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点M与点A重合,点N到达点B时运动终止),过点M、N分别作AB边的垂线,与△ABC的其它边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为t秒.
(1)t=
厘米;
(2)线段MN在运动的过程中,t为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积;
(3)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求P、Q两点都在AC边上时四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式;
(4)简要说明从运动开始到终止四边形MNQP的面积S是如何变化的.
(1)t=
2
2
时,Q点与C重合;此时PM=8 |
3 |
8 |
3 |
(2)线段MN在运动的过程中,t为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积;
(3)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求P、Q两点都在AC边上时四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式;
(4)简要说明从运动开始到终止四边形MNQP的面积S是如何变化的.
分析:(1)Q点与C重合时,先由等腰三角形三线合一的性质得出AN=
AB=3,则AM=AN-MN=2,根据时间=路程÷速度求出t的值;然后在Rt△ACN中,运用勾股定理得到CN=4,再由PM∥CN,
得出△APM∽△ACN,根据相似三角形对应边的比相等即可求出PM的长;
(2)过点C作CD⊥AB,垂足为D.当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形,根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积;
(3)P、Q两点都在AC边上时,先利用∠A的正切值表示出PM、QN,然后根据梯形的面积公式列式整理即可得到S与t的函数关系式;
(4)分别求出点P在AC上,点Q在BC上与点P、Q都在BC上时四边形MNQP的面积,结合(3)得出线段MN在整个运动过程中四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式,根据函数的增减性即可求解.
1 |
2 |
得出△APM∽△ACN,根据相似三角形对应边的比相等即可求出PM的长;
(2)过点C作CD⊥AB,垂足为D.当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形,根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积;
(3)P、Q两点都在AC边上时,先利用∠A的正切值表示出PM、QN,然后根据梯形的面积公式列式整理即可得到S与t的函数关系式;
(4)分别求出点P在AC上,点Q在BC上与点P、Q都在BC上时四边形MNQP的面积,结合(3)得出线段MN在整个运动过程中四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式,根据函数的增减性即可求解.
解答:解:(1)Q点与C重合时,如图1.
∵AC=BC=5,AB=6,CN⊥AB,
∴AN=BN=
AB=3,
∵MN=1,
∴AM=AN-MN=3-1=2,
∵MN的运动速度为1厘米/秒,
∴t=2÷1=2(秒).
在Rt△ACN中,∵∠ANC=90°,
∴CN=
=
=4.
∵PM∥CN,
∴△APM∽△ACN,
∴
=
,即
=
,
∴PM=
.
故答案为2,
;
(2)如图2,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则AD=3,
当MN运动到被CD垂直平分时,四边形MNQP是矩形,
即当AM=3-
=
时,四边形MNQP是矩形,
∴t=
秒时,四边形MNQP是矩形,
∵PM=AMtan∠A=
×
=
,MN=1,
∴S四边形MNQP=PM•MN=
.
故t为
秒时,四边形MNQP恰为矩形,此时矩形的面积为
平方厘米;
(3)如图3,当0≤t≤2时,点P、Q都在AC上,并且四边形PMNQ为直角梯形,
在Rt△AMP中,∵AM=t,tan∠A=
=
,
∴PM=
AM=
t,
在Rt△ANQ中,∵AN=AM+MN=t+1,tan∠A=
=
,
∴QN=
AN=
(t+1),
∴S四边形MNQP=
(PM+QN)MN=
[
t+
(t+1)]=
t+
;
(4)当2<t≤3时,如图4,点P在AC上,点Q在BC上,
∵PM=
t,BN=AB-AM-MN=6-t-1=5-t,
在Rt△BNQ中,
∵QN=
BN=
(5-t),
∴S四边形MNQP=
(PM+QN)MN=
[
t+
(5-t)]×1=
;
当3<t≤5时,点P、Q都在BC上,
∵BM=6-t,BN=5-t,
∴PM=
BM=
(6-t),QN=
BN=
(5-t),
∴S四边形MNQP=
(PM+QN)MN=
[
(6-t)+
(5-t)]=-
t+
.
故S=
,
即当0≤t≤2时,四边形MNQP的面积S随t的增大而增大,当t=2时,达到最大值
;当2<t≤3时,四边形MNQP的面积S=
;当3<t≤5时,四边形MNQP的面积S随t的增大而减小.
∵AC=BC=5,AB=6,CN⊥AB,
∴AN=BN=
1 |
2 |
∵MN=1,
∴AM=AN-MN=3-1=2,
∵MN的运动速度为1厘米/秒,
∴t=2÷1=2(秒).
在Rt△ACN中,∵∠ANC=90°,
∴CN=
AC2-AN2 |
52-32 |
∵PM∥CN,
∴△APM∽△ACN,
∴
PM |
CN |
AM |
AN |
PM |
4 |
2 |
3 |
∴PM=
8 |
3 |
故答案为2,
8 |
3 |
(2)如图2,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则AD=3,
当MN运动到被CD垂直平分时,四边形MNQP是矩形,
即当AM=3-
1 |
2 |
5 |
2 |
∴t=
5 |
2 |
∵PM=AMtan∠A=
5 |
2 |
4 |
3 |
10 |
3 |
∴S四边形MNQP=PM•MN=
10 |
3 |
故t为
5 |
2 |
10 |
3 |
(3)如图3,当0≤t≤2时,点P、Q都在AC上,并且四边形PMNQ为直角梯形,
在Rt△AMP中,∵AM=t,tan∠A=
PM |
AM |
4 |
3 |
∴PM=
4 |
3 |
4 |
3 |
在Rt△ANQ中,∵AN=AM+MN=t+1,tan∠A=
QN |
AN |
4 |
3 |
∴QN=
4 |
3 |
4 |
3 |
∴S四边形MNQP=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
3 |
(4)当2<t≤3时,如图4,点P在AC上,点Q在BC上,
∵PM=
4 |
3 |
在Rt△BNQ中,
∵QN=
4 |
3 |
4 |
3 |
∴S四边形MNQP=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
3 |
4 |
3 |
10 |
3 |
当3<t≤5时,点P、Q都在BC上,
∵BM=6-t,BN=5-t,
∴PM=
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
∴S四边形MNQP=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
22 |
3 |
故S=
|
即当0≤t≤2时,四边形MNQP的面积S随t的增大而增大,当t=2时,达到最大值
10 |
3 |
10 |
3 |
点评:本题考查的是相似形综合题,涉及到等腰三角形的性质,勾股定理,矩形的判定,三角函数的定义,四边形的面积,比较复杂.一般在解决动点问题时,采取数形结合与分类讨论的思想.
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