Question

（2013•金山区二模）如图，已知在等腰三角形△ABC中，AB=AC，BO是AC边上的中线，延长BO至D，使得DO=BO；延长BA至E，使AE=AB，联结CD、DE，在AE取一点P，联结DP，并延长DP、CA交于点G．求证：
（1）四边形ACDE是菱形；
（2）AE²=CG•EP．

Answer 1

分析：（1）连接AD，则可判断四边形ABCD是平行四边形，从而得出AB=CD=AE，判断出四边形AEDC为平行四边形，由AB=AC，可得CD=AC，继而判定四边形ACDE是菱形；
（2）证明△DEP∽△GCD，从而得出

DE

GC

=

EP

CD

，再由四边形ACDE是菱形，可得DE=CD=AE，代入比例式即可得出结论．

解答：解：（1）连接AD，

∵BD与AC互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB

∥

.

CD，
又∵AE=AB，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵AB=AC，
∴AC=CD，
∴四边形ACDE是菱形；

（2）∵四边形ACDE是菱形，
∴DE=CD=AE，∠E=∠DCG，DE∥CG，
∴∠EDP=∠DGC，
∴△DEP∽△GCD，
∴

DE

GC

=

EP

CD

，即

AE

CG

=

EP

AE

，
∴AE²=CG•EP．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与菱形的判定，解答本题的关键是等量代换，这是本题的突破口．