Question

【题目】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；EG⊥CG．
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC= ，

∵EF⊥BD，

∴∠DEF=90°，

∵GF=GD，

∴EG=DG=GF= DF，GC=DG=GF= DF，

∴EG=GC，∠GED=∠GDE，∠GCD=∠GDC，

∵∠EGF=∠GED+∠GDE=2∠EDG，∠CGF=∠GCD+∠GDC=2∠GDC，

∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=2∠EDG+2∠GDC=2（∠EDG+∠GDC）=90°，

∴EG⊥GC

（2）证明：图②中，结论仍然成立．

理由：作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=90°，∠ABD=∠DBC=∠BDC=45°

∴GM=GN，

∵∠A=∠ANG=∠ADH=90°，

∴四边形ANHD是矩形，

∴∠DHN=90°，∠GDH=∠HGD=45°，

∴HG=DH=AN，同理GH=CM，

∵∠ENG=∠A=∠BEF=90°，

∴EF∥GN∥AD，∵GF=GD，

∴AN=NE=GH=MC，

在△GNE和△GMC中，

，

∴△GNE≌△GMC，

∴GE=GC，∠NGE=∠MGC，

∴∠EGC=∠NGM=90°，

∴EG⊥GC．

【解析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质以及三角形外角定理即可证明．（2）作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H，只要证明△GNE≌△GMC即可解决问题．