题目内容
【题目】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．
（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝
AC，求AM的长；
（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．
①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；
②求AM、MN的长；
（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当
且
时，求CP的长．
【答案】（1）
；（2）①菱形，理由见解析；②AM=
，MN＝
；（3）1．
【解析】
（1）利用相似三角形的性质求解即可．
（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，由MA′∥AB，可得
＝
，由此构建方程求出x，解直角三角形求出OM即可解决问题．
（3）如图3中，作NH⊥BC于H．想办法求出NH，CM，利用相似三角形，确定比例关系，构建方程解决问题即可．
解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝
，
∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，
∴△ANM∽△ACB，
∴
＝
，
∵AN＝
AC
∴＝
，
∴AM＝．
（2）①如图2中，
∵NA′∥AC，
∴∠AMN＝∠MNA′，
由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，
∴∠MNA′＝∠A′MN，
∴A′N＝A′M，
∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，
∴四边形AMA′N是平行四边形，
∵MA＝MA′，
∴四边形AMA′N是菱形．
②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，
∵MA′∥AB，
∴
∴＝，
∴
＝
，
解得x＝，
∴AM＝
∴CM＝
，
∴CA′＝
＝
＝
，
∴AA′＝
＝
＝
，
∵四边形AMA′N是菱形，
∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝
，
∴OM＝
＝
＝
，
∴MN＝2OM＝．
（3）如图3中，作NH⊥BC于H．
∵NH∥AC，
∴△ABC∽△NBH
∴
＝
＝
∴
＝
＝
∴NH＝
，BH＝
，
∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝
，
∴AM＝
AC＝
，
∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝
，
∵CM∥NH，
∴△CPM∽△HPN
∴
＝
，
∴
＝
，
∴PC＝1．
