Question

锐角△ABC中，BC=6，，两动点M,N分别在边AB,AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y＞0)．

(1)求△ABC中边BC上高AD；
(2)当x为何值时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；
(3)当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

Answer 1

（1）4；（2）2.4（或）；（3）3，6.

试题分析：（1）本题利用矩形的性质和相似三角形的性质，根据MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中边BC上高AD的长度．
（2）因为正方形的位置在变化，但是△AMN∽△ABC没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，代入解析式，
（3）用含x的式子表示矩形MEFN边长，从而求出面积的表达式．
试题解析：（1）由BC=6，S_△ABC=12，得AD=4；
（2）当PQ恰好落在边BC上时，
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴,
即
解得，x=2.4（或）
∴当x=2.4（或）时正方形MPQN的边P恰好落在BC边上；
（3）设MP、NQ分别与BC相交于点E、F，
设HD=a，则AH=4-a，
由 ，
得，
解得，，
∵矩形MEFN的面积=MN×HD，
∴y=x（）= = （0＜x≤6）．
当x=3时，y最大为6.
考点: 1.二次函数综合题；2.矩形的性质；3.相似三角形的判定与性质．