Question

如图，已知：为边长是的等边三角形，四边形为边长是6的正方形. 现将等边和正方形按如图①的方式摆放，使点与点重合，点、、在同一条直线上，从图①的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向右匀速运动，当点与点重合时暂停运动，设的运动时间为秒（）.

（1）在整个运动过程中，设等边和正方形重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式；
（2）如图②，当点与点重合时，作的角平分线交于点，将绕点逆时针旋转，使边与边重合，得到. 在线段上是否存在点，使得为等腰三角形. 如果存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由.
（3）如图③，若四边形为边长是的正方形，的移动速度为每秒 个单位长度，其余条件保持不变. 开始移动的同时，点从点开始，沿折线以每秒个单位长度开始移动，停止运动时，点也停止运动. 设在运动过程中，交折线于点，则当时，求的值.

Answer 1

（1）当0≤t＜ 时，S＝ t² ，当 ≤t≤6时，S＝；
（2）①AN=AH=4时，EH＝，②AH=NH时，EH＝；（3）t＝.

试题分析：（1）分两种情况利用三角形的面积公式可以表示出0≤t＜ 时重叠部分的面积，
当≤t≤6时用S_△ABC-就可以求出重叠部分的面积．
（2）当点A与点D重合时，BE＝CE＝ 
，再由条件可以求出AN的值，分三种情况讨论求出EH的值，①AN=AH=4时，②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，③AH=NH时，此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点，从而可以求出答案．
（3）再运动中当0≤t＜2时，如图2，△PEC∽△EFQ，可以提出t值；当2≤t≤4时，如图3，△PEC∽△QDF，可以提出t值．
试题解析：（1）当0≤t＜ 时，S＝ t²
当 ≤t≤6时，S＝．
（2）当点A与点D重合时，BE＝CE＝，
∵BM平分∠ABE，
∴∠MBE＝∠ABE＝30°
∴ME=2，
∵∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM=4，
∵△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4
①AN=AH=4时，EH＝＝，
②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，∴舍去，
③AH=NH时，此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点，如图1，
∴AK＝ AN＝2，AH＝ 
∴EH＝  ＝．
（3）当0≤t＜2时，如图2，△PEC∽△EFQ，
∴，
∴，
∴t＝.