Question

【题目】.在△AOB中∠AOB=，OA=OB=10,分别以OA、OB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系(如图所示)．点P自点A出发沿线段AB匀速运动到点B停止，同时点D自原点O出发沿x轴正方向匀速运动，在点P、D运动的过程中，始终满足PO=PD,过点O、D向AB作垂线，垂足分别为点C、E，设OD的长为x．

(1)求AP的长(用含x的代数式表示）

(2)在点P、D的运动过程中，线段PC与DE是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；

(3)设以点P、O、D、E为顶点的四边形的面积为y,请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】

（1）作PG⊥x轴于点G，PF⊥y轴于点F，在Rt△APF中，∠PAF=45°，PF=APsin45°=AP,=AP，所以AP=x；

（2）分两种情况①当0≤x＜10时；②当10≤x≤20时；

（3）①当0＜x＜10时，S四边形PODE=S△AOB-S△AOP-S△DEB；②当10≤x≤20时， S四边形PODE=S△POD+S△DOE.

解：（1）作PG⊥x轴于点G，PF⊥y轴于点F，
在Rt△APF中，∠PAF=45°，PF=APsin45°=AP，
∵OG=PF，即=AP，
∴AP=x ；

（2）结论：PC=BE．
①当0≤x＜10时，
∵PC=AC-AP=5-x，BE=BD=（10-x）═，
∴PC=BE，
②当10≤x≤20时，如图

∵PC=AP-AC=，BE=BD=（x-10）=，
∴PC=BE，
综合①②PC=BE；
（3）①当0＜x＜10时，
S四边形PODE=S△AOB-S△AOP-S△DEB==-x2+x+25，
②当10≤x≤20时，
S四边形PODE=S△POD+S△DOE==．