题目内容

【题目】已知:△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.

(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.

【答案】
(1)

证明:连接OE.

∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠B=∠C=60°;

在△BOE中,OB=OE,∠B=60°,

∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°,

∴∠BOE=∠A=60°,

∴OE∥AC(同位角相等,两直线平行);

∵EF⊥AC,

∴OE⊥EF,即直线EF是⊙O的切线;


(2)

解:连接DF.

∵DF与⊙O相切,

∴∠ADF=90°.

设⊙O的半径是r,则EB=r,EC=4﹣r,AD=4﹣2r.

在Rt△ADF中,∠A=60°,

∴AF=2AD=8﹣4r.

∴FC=4r﹣4;

在Rt△CEF中,∵∠C=60°,∴EC=2FC,

∴4﹣r=2(4r﹣4),

解得,r=

∴⊙O的半径是


【解析】(1)连接OE.欲证直线EF是⊙O的切线,只需证明EF⊥AC.利用等边三角形的三个内角都是60°、等腰三角形OBE以及三角形的内角和定理求得同位角∠BOE=∠A=60°,从而判定OE∥AC,所以由已知条件EF⊥AC判定OE⊥EF,即直线EF是⊙O的切线;(2)连接DF.设⊙O的半径是r.由等边三角形的三个内角都是60°、三条边都相等、以及在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半求得关于r的方程4﹣r=2(4r﹣4),解方程即可.

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