Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长；
（3）若3DE=DC，4DE=BC，AD=5，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵DA平分∠EDB，
∴∠EDA=∠ODA，
∴∠OAD=∠EDA，
∴OA∥CE，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．

（2）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=∠BAD=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠CDB=60°，
∴∠EDA=∠ADB=（180°-60°）=60°，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAD=30°，
∵DE=1cm，
∴AD=2DE=2cm，
∵∠BAD=90°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4cm，
答：BD的长是4cm．

（3）解：设DE=a，则CD=3a，BC=4a，
由勾股定理得：BD=5a，
∵∠AED=∠BAD=90°，∠EAD=∠ABD，
∴△EAD∽△ABD，
∴=，
即=，
解得：a=，
BD=5a=5．
答：BD的长是5．
分析：（1）连接OA，推出∠OAD=∠ODA=∠EDA，推出OA∥CD，推出OA⊥AE，即可得出答案；
（2）求出∠BDC=∠EDA=∠ADB=60°，求出∠EAD=∠ABD=30°，求出AD，即可求出BD；
（3）设DE=a，则CD=3a，BC=4a，求出BD=5a，证△EAD∽△ABD，得出=，代入求出a即可．
点评：本题主要考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，含30度角的直径三角形，勾股定理，等腰三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．