题目内容
【题目】已知抛物线L1：y1＝x2＋6x＋5k和抛物线L2：y2＝kx2＋6kx＋5k，其中k≠0．
(1)下列说法你认为正确的是(填写序号) ；
①抛物线L1和L2与y轴交于同一点(0，5k)；
②抛物线L1和L2开口都向上；
③抛物线L1和L2的对称轴是同一条直线；
④当k＜－1时，抛物线L1和L2都与x轴有两个交点．
(2)抛物线L1和L2相交于点E、F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；
(3)在(2)中，若抛物线L1的顶点为M，抛物线L2的顶点为N，问是否存在实数k，使MN＝2EF？如存在，求出实数k；如不存在，请说明理由．
【答案】(1) ①③④ ;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
（1）根据二次函数的图象和性质结合已知条件分析判断即可；
（2）由y1=y2可得方程：x2+6x+5k= kx2+6kx+5k，解此方程可得
，由此可得两抛物线的交点坐标分别为（0，5k）和（-6，5k），从而可得EF=0-（-6）=6，即EF的长度不会随k的变化而变化；
（3）将两个函数解析式配方即可求得点M、N的坐标，从而用含k的代数式表达出MN的长度，结合（2）中所得EF=6即可列出关于k的方程，解此方程即可得到相应的结论.
(1)①∵在抛物线L1：y1＝x2＋6x＋5k和抛物线L2：y2＝kx2＋6kx＋5k中，当x=0时，y1=y2=5k，
∴抛物线L1和L2都与y轴相交于点（0，5k），即结论①正确；
②∵抛物线L1：y1＝x2＋6x＋5k的开口向上，而抛物线L2：y2＝kx2＋6kx＋5k的开口方向不确定，
∴“抛物线L1和L2开口都向上”的说法是错误的，即结论②不成立；
③∵抛物线L1：y1＝x2＋6x＋5k的对称轴为直线x=-3，抛物线L2：y2＝kx2＋6kx＋5k的对称轴也为直线x=-3，
∴“抛物线L1和L2的对称轴是同一条直线”的说法是正确的，即结论③成立；
④∵在抛物线L1：y1＝x2＋6x＋5k中，△=36-20k，
∴当k<-1时，△>0，此时抛物线L1与x轴有两个不同的交点；
∵在抛物线L2：y2＝kx2＋6kx＋5k中，△=16k2，
∴当k<-1时，△>0，此时抛物线L2与x轴有两个不同的交点；
∴当k<-1时，两条抛物线都和x轴有两个不同的交点，故结论④成立；
综上所述：正确的序号是 ①③④ ；
(2) 由y1= y2，可得：x2+6x+5k= kx2+6kx+5k，
解得：x1=0，x2=－6，
∵当x=0或x=-6时，y1=y2=5k，
∴两抛物线的交点坐标为(0，5k)，(－6，5k)，
∴EF＝0－(－6)=6，
∴当k的值发生变化时，线段EF的长度不会发生变化；
(3)存在实数k，使MN=2EF，理由如下：
∵y1=x2+6x+5k=(x+3)2－9+5k，y2=kx2+6kx+5k=k(x+3)2－4k，
∴抛物线L1的顶点M坐标为(－3，－9+5k)，抛物线L2的顶点N坐标为(－3，－4k)，
∴MN=
，
∵MN=2EF，EF=6，
∴
，
解得：k1=
，k2=
．
∴存在实数：k1=，k2=使MN=2EF.
