题目内容
【题目】已知直线l1:y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,且与双曲线交于点C(1,a).
(1)试确定双曲线的函数表达式;
(2)将l1沿y轴翻折后,得到l2,画出l2的图象,并求出l2的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,点P是线段AC上点(不包括端点),过点P作x轴的平行线,分别交l2于点M,交双曲线于点N,求S△AMN的取值范围.
【答案】(1);(2)y=﹣x+3;(3)
≤S△AMN<4.
【解析】
试题分析:(1)令x=1代入一次函数y=x+3后求出C的坐标,然后把C代入反比例函数解析式中即可求出k的值;
(2)设直线l2与x轴交于D,由题意知,A与D关于y轴对称,所以可以求出D的坐标,再把B点坐标代入y=ax+b即可求出直线l2的解析式;
(3)设M的纵坐标为t,由题意可得M的坐标为(3﹣t,t),N的坐标为(,t),进而得MN=
+t﹣3,又可知在△ABM中,MN边上的高为t,所以可以求出S△AMN与t的关系式.
试题解析:(1)令x=1代入y=x+3,∴y=1+3=4,∴C(1,4),把C(1,4)代入中,∴k=4,∴双曲线的解析式为:
;
(2)如图所示,设直线l2与x轴交于点D,由题意知:A与D关于y轴对称,∴D的坐标为(3,0),设直线l2的解析式为:y=ax+b,把D与B的坐标代入上式,得:,∴解得:
,∴直线l2的解析式为:y=﹣x+3;
(3)设M(3﹣t,t),∵点P在线段AC上移动(不包括端点),∴0<t<4,∴PN∥x轴,∴N的纵坐标为t,把y=t代入,∴x=
,∴N的坐标为(
,t),∴MN=
﹣(3﹣t)=
+t﹣3,过点A作AE⊥PN于点E,∴AE=t,∴S△AMN=
AEMN=
t(
+t﹣3)=
=
.
由二次函数性质可知,当0≤t≤时,S△AMN随t的增大而减小,当
<t≤4时,S△AMN
时,S△AMN可取得最小值为
,当t=4时,S△AMN可取得最大值为4,∵0<t<4,∴
≤S△AMN<4.
