题目内容
【题目】如图1，A（﹣4，0）．正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．
（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα＝
，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为
：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．
【答案】(1)y＝
x+
；(2)
;(3) △OEP的其中两边的比能为
：1，点P的坐标是：P（0，4），P（﹣4，12），P（﹣12，24），P（﹣4，0），P（﹣12，4）．
【解析】
（1）过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M，由已知条件证明△AEO为正三角形，求出点E的坐标及OM的长度，再利用E、M的坐标即可求出解析式；
（2）无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，当AE⊥OQ时，线段AE的长最小利用α为锐角，tanα＝
及勾股定理求出边长OE2，即可求出正方形的面积；
（3）分点F在y轴的正半轴上或负半轴上，且点P与点F或点A重合或不重合时，利用△OEP的两边之比为：1分别求出点P的坐标.
（1）如图1，过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．
∵OE＝OA，α＝60°，
∴△AEO为正三角形，
则OH＝2，EH＝2
，故点E（﹣2，2），
∠EOM＝30°，OM＝
＝，
设EF的函数表达式为：y＝kx+，
将点E的坐标代入上式并解得：k＝，
故直线EF的表达式为：y＝x+；
（2）射线OQ与OA的夹角为α（α为锐角，tanα＝）．
无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，
∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．
在Rt△AOE中，设AE＝a，则OE＝3a，
则a2+（3a）2＝42，解得：a2＝
，
OE＝3a，
正方形OEFG的面积＝（3a）2＝；
（3）设正方形边长为m．
当点F落在y轴正半轴时．
如图3，
当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有
或
．
在Rt△AOP中，∠APO＝45°，OP＝OA＝4，
∴点P1的坐标为（0，4）．
在图3的基础上，
当减小正方形边长时，
点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为：1；
当增加正方形边长时，存在
（图4）和
（图5）两种情况．
如图4，
△EFP是等腰直角三角形，
有
,
即 ,
此时有AP∥OF．
在Rt△AOE中，∠AOE＝45°，
∴OE＝OA＝4，
∴PE＝OE＝8，PA＝PE+AE＝12，
∴点P的坐标为（﹣4，12）．
如图5，
过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF＝n．
在Rt△POG中，PO2＝PG2+OG2＝m2+（m+n）2＝2m2+2mn+n2，
在Rt△PEF中，PE2＝PF2+EF2＝m2+n2，
当时，
∴PO2＝2PE2．
∴2m2+2mn+n2＝2（m2+n2），得n＝2m．
∵EO∥PH，
∴△AOE∽△AHP，
∴
,
∴AH＝4OA＝16，
∴m＝6．
在等腰Rt△PRH中，PR＝HR＝
PH＝24，
∴OR＝RH﹣OH＝12，
∴点P的坐标为（﹣12，24）．
当点F落在y轴负半轴时，
如图6，
P与A重合时，在Rt△POG中，OP＝OG，
又∵正方形OGFE中，OG＝OE，
∴OP＝OE．
∴点P的坐标为（﹣4，0）．
在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中
两边之比不可能为：1；当正方形边长增加时，存在
（图7）这一种情况．
如图7，过P作PR⊥x轴于点R，
设PG＝n．
在Rt△OPG中，PO2＝PG2+OG2＝n2+m2，
在Rt△PEF中，PE2＝PF2+FE2＝（m+n ）2+m2＝2m2+2mn+n2．
当时，
∴PE2＝2PO2．
∴2m2+2mn+n2＝2n2+2m2，
∴n＝2m，
由于NG＝OG＝m，则PN＝NG＝m，
∵OE∥PN，
∴△AOE∽△ANP，
∴
,
即AN＝OA＝4．
在等腰Rt△ONG中，ON＝m，
∴8＝m，
∴m＝4，
在等腰Rt△PRN中，RN＝PR＝4，
∴点P的坐标为（﹣12，4）．
所以，△OEP的其中两边的比能为：1，
点P的坐标是：P（0，4），P（﹣4，12），P（﹣12，24），P（﹣4，0），P（﹣12，4）．
