Question

如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B-A-C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm²．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；
（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）首先作DF⊥OE于F，由AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，可得点P在边AB和AC上的运动时间相同，即可得点F是OE的中点，即可证得DF是OE的垂直平分线，可得△DOE是等腰三角形；
（2）设D（

3

3

a，

3

12

a²），由DO=DE，AB=AC，可得当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，然后由三角函数的性质，即可求得当a=

4 3

3

时，△DOE∽△ABC．

解答：解：（1）△DOE是等腰三角形．
理由如下：过点A作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，
∴AM=

3

3

×

a

2

=

3

6

a，AC=AB=

3

3

a，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AM=

3

12

a²，
∴P在边AB上时，
y=

x

AB

•S_△ABC=

1

4

ax，
P在边AC上时，
y=

AB+AC-x

AB

•S_△ABC=

3

6

a²-

1

4

ax，
作DF⊥OE于F，
∵AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，
∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，
∴点F是OE的中点，
∴DF是OE的垂直平分线，
∴DO=DE，
∴△DOE是等腰三角形．

（2）由题意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，
∴AM=

3

3

×

a

2

=

3

6

a，
∴AB=

3

3

a，
∴D（

3

3

a，

3

12

a²），
∵DO=DE，AB=AC，
∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，
在Rt△DOF中，tan∠DOF=

yD

xD

=

3 a 2 12

3 3 a

=

1

4

a，
由

1

4

a=tan30°=

3

3

，得a=

4 3

3

，
∴当a=

4 3

3

时，△DOE∽△ABC．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．