Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．

（1）若∠C=30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；
（2）若BE=，BD=1，求△DEC外接圆的直径．

Answer 1

（1）根据线段垂直平分线的性质由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圆周角定理得到DC为△DEC外接圆的直径；取DC的中点O，连接OE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质得EB=EC，∠C=∠EBC=30°，则∠EOC=2∠C=60°，可计算出∠BEO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论。
（2）2

分析：（1）根据线段垂直平分线的性质由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圆周角定理得到DC为△DEC外接圆的直径；取DC的中点O，连接OE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质得EB=EC，∠C=∠EBC=30°，则∠EOC=2∠C=60°，可计算出∠BEO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论。
（2）由BE为Rt△ABC斜上的中线得到AE=EC=BE=，易证得Rt△CED∽Rt△CBA，则，然后利用相似比可计算出△DEC外接圆的直径CD。
解：（1）证明：∵DE垂直平分AC，∴∠DEC=90°，AE=CE。
∴DC为△DEC外接圆的直径。
如图，取DC的中点O，连接OE，

∵∠ABC=90°，
∴BE为Rt△ABC斜上的中线。∴EB=EC。
∵∠C=30°，
∴∠EBC=30°，∠EOC=2∠C=60°。∴∠BEO=90°。∴OD⊥BE。
∵BE为⊙O的半径，∴BE是△DEC外接圆的切线。
（2）∵BE为Rt△ABC斜上的中线，∴AE=EC=BE=。∴AC=2。
∵∠ECD=∠BCA，∴Rt△CED∽Rt△CBA。∴。
∵CB=CD+BD=CD+1，∴，解得CD=2或CD=﹣3（舍去）。
∴△DEC外接圆的直径为2。