题目内容

（1）已知抛物线y=2x²，把它向右平移p个单位，或向下平移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点．求p、q的值；
（2）把抛物线y=2x²向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到抛物线经过点（1，3），（4，9），求p、q的值；
（3）把抛物线y=ax²+bx+c向左平移三个单位，向下平移两个单位后，所得的图象是经过点 $数学公式$ 的抛物线y=ax²，求原二次函数的解析式．

解：（1）①当抛物线y=2x²向右平移p个单位时，
得到抛物线解析式为y=2（x-p）²，
联立 $\text{[math]}$ ，
消去y，得2x²-（1+4p）x+2p²+4=0，
∵抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，
∴△=（1+4p）²-8（2p²+4）=0，
解得p= $\text{[math]}$ ；
②当抛物线y=2x²向下平移q个单位时，
得到抛物线解析式为y=2x²-q，
联立 $\text{[math]}$ ，
消去y，得2x²-x+4-q=0，
∵抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，
∴△=（-1）²-8（4-q）=0，
解得q= $\text{[math]}$ ，
故本题答案为：p= $\text{[math]}$ ，q= $\text{[math]}$ ．
（2）当抛物线y=2x²向左平移p个单位时，
得到抛物线解析式为y=2（x+p）²，
当抛物线y=2（x+p）²，向上平移q个单位时，
得到抛物线解析式为y=2（x+p）²+q，
∵抛物线经过点（1，3），（4，9），
∴ $\text{[math]}$
解得：p=-2，q=1，
（3）∵抛物线y=ax²经过点（-1，- $\text{[math]}$ ），
∴抛物线解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²，
∵抛物线y=ax²+bx+c向左平移三个单位，向下平移两个单位后得出抛物线解析式，
∴y=- $\text{[math]}$ x²向右平移三个单位，向上平移两个单位即可得出原解析式为：
y= $\text{[math]}$ （x-3）²+2
分析：（1）分为将抛物线向右平移和向下平移两种情况，设平移后抛物线的解析式，列方程组，消元成一元二次方程，使△=0即可得出答案，
（2）首先得出抛物线y=2x²向左平移p个单位，向上平移q个单位后的解析式，再通过经过点（1，3），（4，9），列方程组求出结果，
（3）根据物线y=ax²经过点（-1，- $\text{[math]}$ ）得出解析式，然后逆向推理得出原解析式．
点评：本题考查了抛物线的平移的性质、抛物线解析式的确定、抛物线与直线交点问题以及解方程组等，综合性较强，难度适中．