Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在AC的延长线上，且∠CBE=∠BAC．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若∠ABC=65°，AB=6，求劣弧AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接，根据圆周角的性质求得。根据等腰三角形的性质三效合一的性质得出，进而根据已知条件即可证明，从而证明是的切线；

（2）连接，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，求出的度数，进而根据弧长公式即可求出.

（1）证明：如图，连接AD.

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.

∵AB=AC，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.

∵∠CBE=∠BAC，

∴∠CBE=∠BAD.

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABE=∠ABD+∠CBE=90°.

∵AB为⊙O直径，

∴BE是⊙O的切线.

（2）解：如图，连接OD.

∵∠ABC=65°，

∴∠AOD=2∠ABC=2×65°=130°.

∵AB=6，

∴圆的半径为3.

∴劣弧AD的长为=.