题目内容

【题目】小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题:如图①,在正方形ABCD中,点ECD的中点,点FBC边上的一点,且∠FAE=∠EAD.你能够得出什么样的正确的结论?

1)小明经过研究发现:EFAE.请你对小明所发现的结论加以证明;

2)小明之后又继续对问题进行研究,将正方形改为矩形菱形任意平行四边形(如图②、图③、图④),其它条件均不变,认为仍然有EFAE.你同意小明的观点吗?若你同意小明的观点,请取图③为例加以证明;若你不同意小明的观点,请说明理由.

【答案】1)见解析;(2EFAE仍然成立.理由见解析.

【解析】

1)延长AEBC的延长线与点M,要证明EFAE,只要证明AFM是等腰三角形,再证明EAM的中点就可以证得.

2)同(1),延长AEBC的延长线与点M,要证明EFAE,只要证明AFM是等腰三角形,再证明EAM的中点就可以证得.

1)证明:如图①,延长AEBC的延长线与点M

∵在正方形ABCD中,ADBC,∠FAE=∠EAD

∴∠DAM=∠M

又∵DEEC,∠AED=∠MEC

∴△AED≌△MEC

AEEM,∠EAD=∠FAE=∠M

AFFM

FEAE

2)解:EFAE仍然成立.理由如下:

如图③,延长AEBC的延长线与点M

∵在菱形ABCD中,ADBC,∠FAE=∠EAD

∴∠DAM=∠M

又∵DEEC,∠AED=∠MEC

∴△AED≌△MEC

AEEM,∠EAD=∠FAE=∠M

AFFM

FEAE

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