题目内容

如图，已知反比例函数 $数学公式$ 在第一象限内的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．
（1）用含m的代数式表示四边形ODBE的面积；
（2）若y关于x的函数y=（2m-1）x²-2（m+1）x+m+3的图象与x轴只有一个交点，求四边形ODBE的面积．

解：（1）设点B（a，b），则点M $\text{[math]}$ ，
∵反比例函数 $\text{[math]}$ 在第一象限内的图象经过矩形OABC对角线的交点M，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ab=4m，
∴S_{四边形ODBE}=S_矩形OABC-S_△OAD-S_△OCE=4m- $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ m=3m；

（2）①当2m-1=0时，得m= $\text{[math]}$ ，
关于x的函数为一次函数：y=-3x+ $\text{[math]}$ ，
此时图象与x轴只有一个交点，且S_{四边形ODBE}=3m= $\text{[math]}$ ；
②当2m-1≠0时，关于x的函数为二次函数，
∵y关于x的函数y=（2m-1）x²-2（m+1）x+m+3的图象与x轴只有一个交点，
∴△=[-2（m+1）]²-4（2m-1）（m+3）=-4m²-12m+16=0，
解得：m=1或m=-4，
∵m＞0，
∴m=1，
∴此时S_{四边形ODBE}=3m=3．
综上可得：四边形ODBE的面积为 $\text{[math]}$ 或3．
分析：（1）首先设点B（a，b），可得点M $\text{[math]}$ ，又由反比例函数 $\text{[math]}$ 在第一象限内的图象经过矩形OABC对角线的交点M，可得ab=4m，然后由S_{四边形ODBE}=S_矩形OABC-S_△OAD-S_△OCE，即可求得答案；
（2）分别从2m-1=0与2m-1≠0去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．