题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,规定:抛物线y=a(x﹣h)2+k的伴随直线为y=a(x﹣h)+k.例如:抛物线y=2(x+1)2﹣3的伴随直线为y=2(x+1)﹣3,即y=2x﹣1.
(1)在上面规定下,抛物线y=(x+1)2﹣4的顶点坐标为 , 伴随直线为 , 抛物线y=(x+1)2﹣4与其伴随直线的交点坐标为和;
(2)如图,顶点在第一象限的抛物线y=m(x﹣1)2﹣4m与其伴随直线相交于点A,B(点A在点B的右侧),与x轴交于点C,D.
①若∠CAB=90°,求m的值;
②如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线上的一个动点,△PBC的面积记为S,当S取得最大值 时,求m的值.
【答案】
(1)(﹣1,﹣4);y=x﹣3;(0,﹣3);(﹣1,﹣4)
(2)
解:①∵抛物线解析式为y=m(x﹣1)2﹣4m,
∴其伴随直线为y=m(x﹣1)﹣4m,即y=mx﹣5m,
联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ,解得 或 ,
∴A(1,﹣4m),B(2,﹣3m),
在y=m(x﹣1)2﹣4m中,令y=0可解得x=﹣1或x=3,
∴C(﹣1,0),D(3,0),
∴AC2=4+16m2,AB2=1+m2,BC2=9+9m2,
∵∠CAB=90°,
∴AC2+AB2=BC2,即4+16m2+1+m2=9+9m2,解得m= (抛物线开口向下,舍去)或m=﹣ ,
∴当∠CAB=90°时,m的值为﹣ ;
②设直线BC的解析式为y=kx+b,
∵B(2,﹣3m),C(﹣1,0),
∴ ,解得 ,
∴直线BC解析式为y=﹣mx﹣m,
过P作x轴的垂线交BC于点Q,如图,
∵点P的横坐标为x,
∴P(x,m(x﹣1)2﹣4m),Q(x,﹣mx﹣m),
∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点,
∴PQ=m(x﹣1)2﹣4m+mx+m=m(x2﹣x﹣2)=m[(x﹣ )2﹣ ],
∴S△PBC= ×[(2﹣(﹣1)]PQ= (x﹣ )2﹣ m,
∴当x= 时,△PBC的面积有最大值﹣ m,
∴S取得最大值 时,即﹣ m= ,解得m=﹣2.
【解析】解:(1)∵y=(x+1)2﹣4,
∴顶点坐标为(﹣1,﹣4),
由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=(x+1)﹣4,即y=x﹣3,
联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ,解得 或 ,
∴其交点坐标为(0,﹣3)和(﹣1,﹣4),
所以答案是:(﹣1,﹣4);y=x﹣3;(0,﹣3);(﹣1,﹣4);
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识,掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.