Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣ x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+ x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．

（1）试求该抛物线表达式；
（2）如图（1），四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；
（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．

①求证：△ACD是直角三角形；
②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得： ，解得： ，

∴抛物线的表达式为y= x2+ x﹣4．

（2）

解：设P（m， m2+ m﹣4），则F（m，﹣ m﹣4）．

∴PF=（﹣ m﹣4）﹣（ m2+ m﹣4）=﹣ m2﹣ m．

∵PE⊥x轴，

∴PF∥OC．

∴PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形．

∴﹣ m2﹣ m=4，解得：m=﹣ 或m=﹣8．

当m=﹣ 时， m2+ m﹣4=﹣ ，

当m=﹣8时， m2+ m﹣4=﹣4．

∴点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（﹣8，﹣4）．

（3）

解：①证明：把y=0代入y=﹣ x﹣4得：﹣ x﹣4=0，解得：x=﹣8．

∴D（﹣8，0）．

∴OD=8．

∵A（2，0），C（0，﹣4），

∴AD=2﹣（﹣8）=10．

由两点间的距离公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，

∴AC2+CD2=AD2．

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．

②由①得∠ACD=90°．

当△ACD∽△CHP时， = ，即 = 或 = ，

解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．

当△ACD∽△PHC时， = ，即 = 或即 = ．

解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．

综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．

【解析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组，然后解方程组求得a、c的值即可；（2）设P（m， m2+ m﹣4），则F（m，﹣ m﹣4），则PF=﹣ m2﹣ m，当PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形，然后依据PF=OC列方程求解即可；（3）①先求得点D的坐标，然后再求得AC、DC、AD的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；②分为△ACD∽△CHP、△ACD∽△PHC两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．