Question

【题目】如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，若，且交正方形外角的平分线于点．

（1）如图1，若点是边的中点，是边的中点，连接，求证：．

（2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）.

①在点滑动过程中，是否一定成立？请说明理由；

②在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在直线上，求此时点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) AE=EF一定成立，理由见解析；②F点坐标为

【解析】

(1)利用ASA证明△AME≌△ECF，可得结论；

(2) ①在AB上截取AM=EC，连接ME，同（1）证明△AME≌△ECF，可得AE=EF；

②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，则可用a表示出FG、FH，由角平分线的性质得到关于a的方程，求得a的值，即可得出F的坐标.

(1)证明：∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∵M、E为中点，

∴AM=EC=BE=BM，

∴∠BME＝45°，

∵CF平分∠DCB，

∴∠AME=∠ECF=135°，

在△AME和△ECF中， ，

∴△AME≌△ECF (ASA) ，

∴AE=EF；

(2)解：①若点E在线段BC上滑动时AE=EF一定成立.

证明：如图2中，在AB上截取AM=EC，连接ME，

∵AB=BC，

∴BM=BE，

∴△MBE是等腰直角三角形，

∴∠AME=180°-45°=135°，

又∵CF是角平分线，

∴∠ECF=90°+45°=135°，

∴∠AME=∠ECF，

∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

在△AME和△ECF中， ，

∴△AME≌△ECF (ASA) ，

∴AE=EF；

②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图3，

则FG=CH=a-1，FH=-2a+6，

∵CF为角平分线，

∴FH=FG，

∴a-1=-2a+6，

解得，

当时，，

∴F点坐标为.