Question

【题目】如图，AC为⊙O的直径，MN为⊙O的切线，点D为切点，连结AD．直线MN与直线AC交于点B，过点A作AE⊥MN，垂足为E．

（1）求证：AD平分∠EAB．

（2）求证：AD2＝AGAB．

（3）若AE＝6，BE＝8，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）如图1，连接OD，证OD∥AE，推出∠EAD＝∠ADO，再证∠OAD＝∠ADO，可得∠EAD＝∠OAD，即可得出结论；

（2）如图2，连接GD，GC，证△GDA∽△DBA，即可得出结论；

（3）利用勾股定理求出AB的长，证△BDO∽△BEA，设⊙O的半径为r，利用相似三角形的性质求出半径r，进一步可求出BC的长．

（1）证明：如图，连接OD，

∵MN为⊙O的切线，

∴OD⊥MN，

∵AE⊥MN，

∴OD∥AE，

∴∠EAD＝∠ADO，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ADO，

∴∠EAD＝∠OAD，

∴AD平分∠EAB；

（2）证明：如图2，连接GD，GC，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠AGC＝90°＝∠AED，

∴GC∥BE，

∴∠GCA＝∠DBA，

∵∠GDA＝∠GCA，

∴∠GDA＝∠DBA，

由（1）知∠GAD＝∠DAB，

∴△GDA∽△DBA，

∴＝，

∴AD2＝AGAB；

（3）解：在Rt△ABE中，AB＝＝＝10，

由（1）知，OD∥AE，

∴△BDO∽△BEA，

∴＝，

设⊙O的半径为r，则BO＝10﹣r，

∴＝，

∴r＝，

∴BC＝AB﹣AC＝10﹣＝．