题目内容
【题目】给出如下规定：两个图形
和
，点
为上任一点，点
为上任一点，如果线段
的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离．
在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点．
（1）点
的坐标为
，则点
和射线
之间的距离为______，点
和射线之间的距离为 ．
（2）如果直线
和双曲线
之间的距离为
，那么
____；(可在图1中进行研究)
（3）点
的坐标为
，将射线
绕原点
逆时针旋转
，得到射线
，在坐标平面内所有和射线
之间的距离相等的点所组成的图形记为图形
．
①请在图2中画出图形，井描述图形的组成部分：(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)
②将射线
组成的图形记为图形
，抛物线
与图形的公共部分记为图形
，请直接写出图形和图形之间的距离．
【答案】（1）3，5；（2）-2；（3）①图形见解析；图形M为y轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点；②
【解析】
（1）只需根据新定义即可解决问题；
（2）过点O作直线y=x的垂线，与双曲线
交于点A、B，过点B作BH⊥x轴，如图1，根据新定义可得直线y=x和双曲线之间的距离就是线段OB的长，如何只需求出点B的坐标，运用待定系数法就可求出k的值；
（3）①过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，如图2，根据新定义可得图形M为y轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点；
②设抛物线y=x2-2与射线OG的交点为Q，如图3，图形N上点的坐标可设为（x，x2-2），根据新定义可得图形W与图形N之间的距离为
的最小值．可通过求出点Q的坐标得到x2的范围，然后利用二次函数的增减性求出x2+（x2-2）2=（x2-
）2+
的最小值，就可解决问题．
（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，
点（-3，4）和射线OA之间的距离为
，
故答案分别为：3，5；
（2）∵直线y=x和双曲线之间的距离为2，
∴k＜0（否则直线y=x和双曲线相交，它们之间的距离为0）．
过点O作直线y=x的垂线，与双曲线交于点A、B，过点B作BH⊥x轴，如图1，
在Rt△OHB中，∠HOB=∠HBO=45°，OB=2，
则有OH=BH=
OB=，
∴点B的坐标为(，
），
∴k=
span>，
故答案为：-2；
（3）①过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，如图2，
则图形M为：y轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点（图2中的阴影部分）；
②图形W与图形N之间的距离为
4 |
3 |
．
理由：设抛物线y=x2-2与射线OH的交点为P，与射线OG的交点为Q，如图3，
图形N为抛物线上P、Q之间（含P、Q）的部分，故图形N上点的坐标可设为（x，x2-2），
则图形W与图形N之间的距离为的最小值．
∵E点的坐标为(1，1)
∴直线OE的解析式为：y=x，故直线OG的解析式为：y=-x
联立方程组
解得：
或
故点Q的坐标为(1，-1)，从而有0≤x2≤1，
由此可得x2+（x2-2）2=（x2-）2+的最小值为（1-）2+=2，
则图形W与图形N之间的距离为．
