Question

【题目】已知二次函数y＝2x2+bx﹣1（b为常数）．

（1）若抛物线经过点（1，2b），求b的值；

（2）求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点；

（3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）b＝1；（2）见解析；（3）b＜﹣2．

【解析】

（1）把点（1，2b）代入抛物线解析式即可得解；
（2）计算判别式的值得到△=b2+8，利用非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（3）将平行于x轴的直线y=m与抛物线联立得出关于x的方程，由其交点的横坐标之和大于1可得出有关b的不等式，即可求解．

解：（1）把点P（1，2b）代入抛物线y＝2x2+bx﹣1中，得

2+b﹣1＝2b，

解得：b＝1．

（2）证明：∵△＝b2﹣4×2×（﹣1）＝b2+8，

∵无论b取何值，b2≥0，

∴b2+8＞0，

∴二次函数y＝2x2+b x﹣1图象与x轴必有两个交点．

（3）设平行于x轴的直线为y＝m，

∵直线y＝m与该二次函数的图象交于点A，B，

∴，

整理得，2x2+bx﹣1﹣m＝0，

若x1，x2是方程2x2+bx﹣1﹣m＝0的两根，则x1，x2是直线与抛物线交点A，B的横坐标，

∴，

由题意得，，解得，b＜﹣2．

∴b的取值范围是b＜﹣2．