题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点
是
轴上的一点，且以
为顶点的三角形与
相似，求点
的坐标；
(3)如图2，
轴玮抛物线相交于点
，点
是直线
下方抛物线上的动点，过点
且与
轴平行的直线与
，
分别交于点
，
，试探究当点
运动到何处时，四边形
的面积最大，求点
的坐标及最大面积；
(4)若点
为抛物线的顶点，点
是该抛物线上的一点，在
轴，
轴上分别找点
，
，使四边形
的周长最小，求出点
，
的坐标.
【答案】(1) y=x2﹣4x﹣5，(2) D的坐标为（0，1）或（0，
）；(3) 当t=
时，四边形CHEF的面积最大为
．(4) P（
，0），Q（0，﹣
）．
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；
（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；
（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；
（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．
试题解析：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，
∴
，
∴
，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，
（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴AB=6，BC=5
，
要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有
或
，
①当时，
CD=AB=6，
∴D（0，1），
②当时，
∴
，
∴CD=
，
∴D（0，
），
即：D的坐标为（0，1）或（0，）；
（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），
∵CE∥x轴，
∴点E的纵坐标为﹣5，
∵E在抛物线上，
∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，
∴E（4，﹣5），
∴CE=4，
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴直线BC的解析式为y=x﹣5，
∴F（t，t﹣5），
∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣ ）2+
，
∵CE∥x轴，HF∥y轴，
∴CE⊥HF，
∴S四边形CHEF=
CEHF=﹣2（t﹣）2+，
当t=时，四边形CHEF的面积最大为．
（4）如图2，
∵K为抛物线的顶点，
∴K（2，﹣9），
∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），
∵M（4，m）在抛物线上，
∴M（4，﹣5），
∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），
∴直线K'M'的解析式为y=
x﹣，
∴P（，0），Q（0，﹣）．
