Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，点F是AB的中点， AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；② AH=2BD； ③AD·BC=AE·AB； ④2CD2=EH2．其中正确的结论有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延长FD=FE，①正确；

证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD=2BD，②正确；

证明△ABD～△BCE，得出=，即BCAD=ABBE，③正确；

△ABE是等腰直角三角形，得到AB=AC=AE，从而有EC=(-1)AE，

变形得AE= ( )EH，变形得=，由=，变形即可得到④正确；即可得出结论．

详解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°．

∵点F是AB的中点，∴FD=AB．

∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE．

∵点F是AB的中点，∴FE=AB，∴FD=FE，①正确；

∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC．

∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE．在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AHBC=2CD=2BD，②正确；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴=，即BCAD=ABBE．故③正确；

∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∴AC=AE，∴EC=(-1)AE，

∴AE=EH=( )EH，=，∴=，∴=，∴=，∴=，∴2CD2=EH2，故④正确．

故选D．