题目内容
(2012•萧山区一模)已知在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B,与双曲线y=
相交于点C、D,且点D的坐标为(1,6).
(1)如图1,当点C的横坐标为2时,求点C的坐标和
的值;
(2)如图2,当点A落在x轴负半轴时,过点C作x轴的垂线,垂足为E,过点D作y轴的垂线,垂足为F,连接EF.
①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等,并说明理由;
②当
=2时,求点C的坐标和tan∠OAB的值;
(3)若tan∠OAB=
,请直接写出
的值(不必书写解题过程)
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201209/24/36893a1b.png)
m |
x |
(1)如图1,当点C的横坐标为2时,求点C的坐标和
CD |
AB |
(2)如图2,当点A落在x轴负半轴时,过点C作x轴的垂线,垂足为E,过点D作y轴的垂线,垂足为F,连接EF.
①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等,并说明理由;
②当
CD |
AB |
(3)若tan∠OAB=
1 |
7 |
CD |
AB |
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201209/24/36893a1b.png)
分析:(1)由点D(1,6)在反比例函数y=
的图象上可求出m的值,进而得出反比例函数的解析式,再由点C的横坐标为2即可得出其纵坐标,故可得出C点坐标;再算出一次函数解析式,进而得到A、B点坐标,然后可算出
的值;
(2)①设C(a,b),则ab=6,由S△EFC=
|ab|=3,S△EFD=
×1×6=3,可得△EFC的面积和△EFD的面积相等;
②先证明四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形,故可得出CE=BF,∠FDB=∠EAC,再由全等三角形的判定定理得出△DFB≌△AEC,故AC=BD,设CD=2k,AB=k,DB=
,
可得
=
,再证明△DFB∽△AOB,可算出OA=2,OB=4,进而得到tan∠OAB=
=2.
(3)根据1.2两图,要分两种情况,一是k=
,二是k=-
.
m |
x |
CD |
AB |
(2)①设C(a,b),则ab=6,由S△EFC=
1 |
2 |
1 |
2 |
②先证明四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形,故可得出CE=BF,∠FDB=∠EAC,再由全等三角形的判定定理得出△DFB≌△AEC,故AC=BD,设CD=2k,AB=k,DB=
k |
2 |
可得
DB |
AB |
1 |
2 |
BO |
AO |
(3)根据1.2两图,要分两种情况,一是k=
1 |
7 |
1 |
7 |
解答:
解:(1)∵D(1,6)在y=
上,
∴m=6,即双曲线解析式是 y=
,
当C点横坐标为2时,纵坐标为3,
∴C(2,3).
直线AB过点C(2,3),D(1,6),得
,
解得:
,
故直线AB的解析式为y=-3x+9.
∴B(0,9),A(3,0),
∴AB=3
,
∵C(2,3),D(1,6),
∴CD=
∴
=
;
(2)①设C(a,b),则ab=6,
∵S△EFC=
(-a)(-b)=
ab=3,而S△EFD=
×1×6=3,
∴S△EFC=S△EFD;
②∵S△EFC=S△EFD,且两三角形同底,
∴两三角形的高相同,
∴EF∥CD,
∵DF∥AE,BF∥CE,
∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形,
∴CE=BF,∠FDB=∠EAC,
在△DFB与△AEC中,
∵
,
∴△DFB≌△AEC,
∴AC=BD,
∵
=2,设CD=2k,AB=k,DB=
,
∴
=
,
∵∠DFB=∠AOB,∠DBF=ABO,
∴△DFB∽△AOB,
∴
=
=
=
,
∵DF=1,
∴OA=2,
∵OF=6,
∴OB=4,
∴tan∠OAB=
=2.
∵OA=2,OB=4,
∴A(-2,0),B(0,4),
∴直线AB的解析式为y=2x+4,
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得
,
解得:
,
,
∴C(-3,-2).
(3)如图2,直线与双曲线过D点(1,6),带入双曲线方程6=
,
解得:m=6,
带入直线方程,6=k+b,b=6-k,
所以直线方程变为y=kx+6-k,
∵tan∠OAB=
,
∴直线方程的斜率为
,即k=
,
∴b=
,
∴直线方程为y=
x+
,
∴A的坐标为(-41,0),B(0,
),
再将直线方程带入双曲线方程有
=
x+
,解得x=1或-42,
当x=-42,y=-
,
过C做平行于x轴的直线,过D做平行于y的直线,两直线相交与M,
∴△AOB∽△CMD,
∴
=
,
CM=1-(-42)=43,AO=41,所以
=
.
如图1:∵tan∠OAB=
,
∴直线方程的斜率为
,即k=-
,
∴b=
,
∴直线方程为y=-
x+
,
∴A的坐标为(43,0),B(0,
),
再将直线方程带入双曲线方程有
=-
x+
,解得x=1或42,
当x=42,y=
,
∵△AOB∽△CPD,
∴
=
,
CP=42-1=41,AO=43,
∴
=
.
综上所述:
的值为
或
.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201302/31/64f1f3f5.png)
m |
x |
∴m=6,即双曲线解析式是 y=
6 |
x |
当C点横坐标为2时,纵坐标为3,
∴C(2,3).
直线AB过点C(2,3),D(1,6),得
|
解得:
|
故直线AB的解析式为y=-3x+9.
∴B(0,9),A(3,0),
∴AB=3
10 |
∵C(2,3),D(1,6),
∴CD=
10 |
∴
CD |
AB |
1 |
3 |
(2)①设C(a,b),则ab=6,
∵S△EFC=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S△EFC=S△EFD;
②∵S△EFC=S△EFD,且两三角形同底,
∴两三角形的高相同,
∴EF∥CD,
∵DF∥AE,BF∥CE,
∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形,
∴CE=BF,∠FDB=∠EAC,
在△DFB与△AEC中,
∵
|
∴△DFB≌△AEC,
∴AC=BD,
∵
CD |
AB |
k |
2 |
∴
DB |
AB |
1 |
2 |
∵∠DFB=∠AOB,∠DBF=ABO,
∴△DFB∽△AOB,
∴
DF |
AO |
DB |
AB |
BF |
BO |
1 |
2 |
∵DF=1,
∴OA=2,
∵OF=6,
∴OB=4,
∴tan∠OAB=
BO |
AO |
∵OA=2,OB=4,
∴A(-2,0),B(0,4),
∴直线AB的解析式为y=2x+4,
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得
|
解得:
|
|
∴C(-3,-2).
(3)如图2,直线与双曲线过D点(1,6),带入双曲线方程6=
m |
1 |
解得:m=6,
带入直线方程,6=k+b,b=6-k,
所以直线方程变为y=kx+6-k,
∵tan∠OAB=
1 |
7 |
∴直线方程的斜率为
1 |
7 |
1 |
7 |
∴b=
41 |
7 |
∴直线方程为y=
1 |
7 |
41 |
7 |
∴A的坐标为(-41,0),B(0,
41 |
7 |
再将直线方程带入双曲线方程有
6 |
x |
1 |
7 |
41 |
7 |
当x=-42,y=-
1 |
7 |
过C做平行于x轴的直线,过D做平行于y的直线,两直线相交与M,
∴△AOB∽△CMD,
∴
CD |
AB |
CM |
AO |
CM=1-(-42)=43,AO=41,所以
CD |
AB |
43 |
41 |
如图1:∵tan∠OAB=
1 |
7 |
∴直线方程的斜率为
1 |
7 |
1 |
7 |
∴b=
43 |
7 |
∴直线方程为y=-
1 |
7 |
43 |
7 |
∴A的坐标为(43,0),B(0,
43 |
7 |
再将直线方程带入双曲线方程有
6 |
x |
1 |
7 |
43 |
7 |
当x=42,y=
1 |
7 |
∵△AOB∽△CPD,
∴
CD |
AB |
CP |
AO |
CP=42-1=41,AO=43,
∴
CD |
AB |
41 |
43 |
综上所述:
CD |
AB |
43 |
41 |
41 |
43 |
点评:本题考查了反比例函数的综合运用,涉及待定系数法求函数解析式,同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质,三角函数定义,题目综合性较强.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目