题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=45°CD⊥ABBE⊥AC,垂足分别为DEFBC中点,BEDFDC分别交于点GH∠ABE=∠CBE

1)线段BHAC相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;

2)求证:BG2﹣GE2=EA2

【答案】解:(1)线段BHAC相等。证明如下:

∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°∠ABC=45°

∴∠BCD=45°=∠ABC∠A+∠DCA=90°∠A+∠ABE=90°

∴DB=DC∠ABE=∠DCA

△DBH△DCA中,∵∠DBH=∠DCABD=CD∠BDH=∠CDA

∴△DBH≌△DCAASA)。∴BH=AC

2)证明:连接CG

∵FBC的中点,DB=DC∴DF垂直平分BC∴BG=CG

∵∠ABE=∠CBEBE⊥AC∴∠AEB=∠CEB

△ABE△CBE中,

∵∠AEB=∠CEBBE=BE∠CBE=∠ABE

∴△ABE≌△CBEASA)。∴EC=EA

Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2﹣GE2=EC2

∴BG2﹣GE2=EA2

【解析】试题分析:(1)、根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC∠ABE=∠DCA,推出DB=CD,根据ASA证出△DBH≌△DCA即可;(2)、根据DB=DCFBC中点,得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根据BE⊥AC∠ABE=∠CBE得出AE=CE,在Rt△CGE中,由勾股定理即可推出答案.

试题解析:(1)BH=AC,理由如下: ∵CD⊥ABBE⊥AC∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°∵∠ABC=45°

∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC ∴DB=DC∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°

∴∠A+∠ACD=90°∠A+∠HBD=90°∴∠HBD=∠ACD△DBH△DCA

∴△DBH≌△DCAASA), ∴BH=AC

(2)、连接CG, 由(1)知,DB=CD∵FBC的中点, ∴DF垂直平分BC∴BG=CG

∵∠ABE=∠CBEBE⊥AC∴EC=EA, 在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2﹣GE2=CE2

∵CE=AEBG=CG∴BG2﹣GE2=EA2

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