题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．
【答案】解：（1）线段BH与AC相等。证明如下：
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，
在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA，
∴△DBH≌△DCA（ASA）。∴BH=AC。
（2）证明：连接CG，
∵F为BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC。∴BG=CG。
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB。
在△ABE和△CBE中，
∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，
∴△ABE≌△CBE（ASA）。∴EC=EA。
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=EC2。
∴BG2﹣GE2=EA2。
【解析】试题分析：(1)、根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可；(2)、根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．
试题解析：(1)、BH=AC，理由如下： ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°， ∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC ∴DB=DC， ∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°， ∴∠HBD=∠ACD， ∵在△DBH和△DCA中
， ∴△DBH≌△DCA（ASA）， ∴BH=AC．
(2)、连接CG， 由(1)知，DB=CD， ∵F为BC的中点， ∴DF垂直平分BC， ∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC， ∴EC=EA， 在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG， ∴BG2﹣GE2=EA2．
