题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;
(2)求证:BG2﹣GE2=EA2.
【答案】解:(1)线段BH与AC相等。证明如下:
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,
∴∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,
∴DB=DC,∠ABE=∠DCA,
在△DBH和△DCA中,∵∠DBH=∠DCA,BD=CD,∠BDH=∠CDA,
∴△DBH≌△DCA(ASA)。∴BH=AC。
(2)证明:连接CG,
∵F为BC的中点,DB=DC,∴DF垂直平分BC。∴BG=CG。
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB。
在△ABE和△CBE中,
∵∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠CBE=∠ABE,
∴△ABE≌△CBE(ASA)。∴EC=EA。
在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2﹣GE2=EC2。
∴BG2﹣GE2=EA2。
【解析】试题分析:(1)、根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC,∠ABE=∠DCA,推出DB=CD,根据ASA证出△DBH≌△DCA即可;(2)、根据DB=DC和F为BC中点,得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE,在Rt△CGE中,由勾股定理即可推出答案.
试题解析:(1)、BH=AC,理由如下: ∵CD⊥AB,BE⊥AC, ∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°, ∵∠ABC=45°,
∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC ∴DB=DC, ∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°, ∴∠HBD=∠ACD, ∵在△DBH和△DCA中
, ∴△DBH≌△DCA(ASA), ∴BH=AC.
(2)、连接CG, 由(1)知,DB=CD, ∵F为BC的中点, ∴DF垂直平分BC, ∴BG=CG,
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC, ∴EC=EA, 在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2﹣GE2=CE2,
∵CE=AE,BG=CG, ∴BG2﹣GE2=EA2.