题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=12cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)连接DE、DF,当t为何值时,四边形AEDF为菱形?
(2)连接PE、PF,在整个运动过程中,△PEF的面积是否存在最大值?若存在,试求当△PEF的面积最大时,线段BP的长.
(3)是否存在某一时刻t,使点F在线段EP的中垂线上?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当t=2s时,四边形AEDF为菱形;(2)BP=6cm;(3)存在某一时刻t,使点F在线段EP的中垂线上,t=.
【解析】
试题分析:(1)根据四边形AEDF为菱形,则EF垂直平分AD,此时,DH= AD=4cm,再根据直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,即可求得t==2(s);(2)先根据EF∥BC,得到△AEF∽△ABC,进而得出 ,据此求得EF=12﹣3t,再根据S△PEF=EFDH=(12﹣3t)2t=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12(0<t≤4),求得当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为12cm2,最后计算线段BP的长;(3)若点F在线段EP的中垂线上,则FE=FP,过点F作FG⊥BC于G,则FG=HD=2t,FG∥AD,根据△FCG∽△ACD,得到,进而得到CG=t,PG=12﹣3t﹣t,最后在Rt△PFG中,根据勾股定理列出方程(12﹣3t﹣t)2+(2t)2=(12﹣3t)2,即可求得t的值.
试题解析:(1)如图1,若四边形AEDF为菱形,则EF垂直平分AD,
此时,DH=AD=4cm,
又∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,
∴t==2(s),
此时,EF垂直平分AD,
∴AE=DE,AF=DF.
∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴AD⊥BC,∠B=∠C.
∴EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=AF=DE=DF,
即四边形AEDF为菱形,
故当t=2s时,四边形AEDF为菱形;
(2)如图2,∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,AD=8cm,
∴DH=2t,AH=8﹣2t,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴,即.
解得EF=12﹣3t,
∴S△PEF=EFDH=(12﹣3t)2t=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12(0<t≤4),
∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为12cm2,
此时BP=3t=6cm;
(3)存在某一时刻t,使点F在线段EP的中垂线上.
∵AB=AC,AD⊥BC,BC=12cm,AD=8cm,
∴AB=AC=10cm,
若点F在线段EP的中垂线上,则FE=FP,
由(2)可得,EF=12﹣3t=PF,
如图3,过点F作FG⊥BC于G,则FG=HD=2t,FG∥AD,
∴△FCG∽△ACD,
∴,即,
∴CG=t,
又∵BP=3t,BC=12cm,
∴PG=12﹣3t﹣t,
∴Rt△PFG中,(12﹣3t﹣t)2+(2t)2=(12﹣3t)2,
解得t1=或t2=0(舍去),
∴当t=时,点F在线段EP的中垂线上.