题目内容

【题目】如图,在ABC中,AB=AC,ADBC于点D,BC=12cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t0).

(1)连接DE、DF,当t为何值时,四边形AEDF为菱形?

(2)连接PE、PF,在整个运动过程中,PEF的面积是否存在最大值?若存在,试求当PEF的面积最大时,线段BP的长.

(3)是否存在某一时刻t,使点F在线段EP的中垂线上?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)当t=2s时,四边形AEDF为菱形;(2)BP=6cm;(3)存在某一时刻t,使点F在线段EP的中垂线上t=.

【解析】

试题分析:(1)根据四边形AEDF为菱形,则EF垂直平分AD,此时,DH= AD=4cm,再根据直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,即可求得t==2(s);(2)先根据EFBC,得到AEF∽△ABC,进而得出 ,据此求得EF=12﹣3t,再根据SPEF=EFDH=(12﹣3t)2t=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12(0t4),求得当t=2秒时,SPEF存在最大值,最大值为12cm2,最后计算线段BP的长;(3)若点F在线段EP的中垂线上,则FE=FP,过点F作FGBC于G,则FG=HD=2t,FGAD,根据FCG∽△ACD,得到,进而得到CG=t,PG=12﹣3t﹣t,最后在RtPFG中,根据勾股定理列出方程(12﹣3t﹣t)2+(2t)2=(12﹣3t)2,即可求得t的值.

试题解析:(1)如图1,若四边形AEDF为菱形,则EF垂直平分AD,

此时,DH=AD=4cm,

直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,

t==2(s),

此时,EF垂直平分AD,

AE=DE,AF=DF.

AB=AC,ADBC于点D,

ADBC,B=C.

EFBC,

∴∠AEF=B,AFE=C,

∴∠AEF=AFE,

AE=AF,

AE=AF=DE=DF,

即四边形AEDF为菱形,

故当t=2s时,四边形AEDF为菱形;

(2)如图2,直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,AD=8cm,

DH=2t,AH=8﹣2t,

EFBC,

∴△AEF∽△ABC,

,即

解得EF=12﹣3t,

SPEF=EFDH=(12﹣3t)2t=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12(0t4),

当t=2秒时,SPEF存在最大值,最大值为12cm2

此时BP=3t=6cm;

(3)存在某一时刻t,使点F在线段EP的中垂线上.

AB=AC,ADBC,BC=12cm,AD=8cm,

AB=AC=10cm,

若点F在线段EP的中垂线上,则FE=FP,

由(2)可得,EF=12﹣3t=PF,

如图3,过点F作FGBC于G,则FG=HD=2t,FGAD,

∴△FCG∽△ACD,

,即

CG=t,

BP=3t,BC=12cm,

PG=12﹣3t﹣t,

RtPFG中,(12﹣3t﹣t)2+(2t)2=(12﹣3t)2

解得t1=或t2=0(舍去),

当t=时,点F在线段EP的中垂线上.

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