Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB上一动点,将直线OP绕点P逆时针方向旋转90交直线BC于点Q.

(1)当点P在线段AB上运动(不与A,B重合)时，求证：OABQ=APBP；

(2)在(1)成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为，求出关于m的函数解析式，并判断是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；

(3)直线AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），；（3）存在，

【解析】

（1）根据已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OABQ=APBP；
（2）由第一问可求得BQ的值，从而求得l关于m的关系式，利用二次函数最值即可得到最小值；

（3）因为△POQ是等腰三角形所以PO=PQ，根据等式PA2+AO2=PB2+BQ2可求得m的值，从而确定点P的坐标．

证明：（1）∵PO⊥PQ，

∴∠APO+∠BPQ=90，

在Rt△AOP中,∠APO+∠AOP=90，

∴∠BPQ=∠AOP，

∴△OAP∽△PBQ，

∴，

即OABQ=APBP.

(2)∵OABQ=APBP，即，

∴

∴当m=2时，l有最小值.

(3) ∵△POQ是等腰三角形

∴PO=PQ，

即PA2+AO2=PB2+BQ2

则m2+32=(4m)2+()2

整理得m48m3+16m272m+63=0

m48m3+7m2+9m272m+63=0

m2(m28m+7)+9(m28m+7)=0

(m1)(m7)(m2+9)=0

∴m1=1,m2=7,m2=9(舍去)

故存在P1(1,3)，P2(7,3)使△POQ为等腰三角形.