题目内容
【题目】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是______（把所有的正确答案的序号都填在横线上）①∠BAD=∠ACD；②∠BAD+∠B=∠CAD+∠C；③AB+BD=AC+CD；④AB-BD=AC-CD
【答案】②③④
【解析】
可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确; ③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立
解: ②当∠BAD=∠CAD时,
AD是∠BAC的平分线, 且AD是BC边上的
高;则ΔABD≌ΔACD,
ΔBAC是等腰三角形;
③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,
使CF=AC; 连接AE, AF;
AB+BD=CD+AC,
DE=DF,又AD⊥BC;
ΔAEF是等腰三角形; ∠E=∠F;
AB=BE, ∠ABC=2∠E,同理可得，∠ACB=2∠F，
∠ABC=∠ACB,即:AB=AC,
ΔABC是等腰三角形；
④在ΔABC中, AD⊥BC, 根据勾股定理, 得:
AB
-BD=AC-CD.即
(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD)
AB-BD=AC-CD①,
AB+BD=AC+CD②;
+②得:2AB=2AC;
AB=AC,
ΔABC是等腰三角形
故答案为:②③④.
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