题目内容

【题目】
(1)如图1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE= ∠ABC(0°<∠CBE<∠ ABC).以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针旋转∠ABC,得到△BE′A(点C与点A重合,点E到点E′处)连接DE′, 求证:DE′=DE.

(2)如图2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE= ∠ABC(0°<∠CBE<45°). 求证:DE2=AD2+EC2

【答案】
(1)证明:∵∠DBE= ∠ABC,

∴∠ABD+∠CBE=∠DBE= ∠ABC,

∵△ABE′由△CBE旋转而成,

∴BE=BE′,∠ABE′=∠CBE,

∴∠DBE′=∠DBE,

在△DBE与△DBE′中,

∴△DBE≌△DBE′,

∴DE′=DE


(2)证明:如图所示:把△CBE逆时针旋转90°,连接DE′,

∵BA=BC,∠ABC=90°,

∴∠BAC=∠BCE=45°,

∴图形旋转后点C与点A重合,CE与AE′重合,

∴AE′=EC,

∴∠E′AB=∠BCE=45°,

∴∠DAE′=90°,

在Rt△ADE′中,DE′2=AE′2+AD2

∵AE′=EC,

∴DE′2=EC2+AD2

同(1)可得DE=DE′,

∴DE′2=AD2+EC2

∴DE2=AD2+EC2


【解析】(1)先根据∠DBE= ∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE= ∠ABC,再由图形旋转的性质可知BE=BE′,∠ABE′=∠CBE,故可得出∠DBE′=∠DBE,由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBE′,故可得出结论;(2)把△CBE逆时针旋转90°,由于△ABC是等腰直角三角形,故可知图形旋转后点C与点A重合,∠E′AB=∠BCE=45°,所以∠DAE′=90°,由(1)证DE=DE′,再根据勾股定理即可得出结论.
【考点精析】利用勾股定理的概念和旋转的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.

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