Question

【题目】如图（1），抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x+5经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图（2），若过点B的直线交直线AC于点M．

①当BM⊥AC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线BM的平行线交AC于点Q，若以点B，M，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连结BC，当直线BM与直线AC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+6x+5；（2）①点P的横坐标为﹣4，或；②点M的坐标为（，）或（，）

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，由点A，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标；

①分四边形BMQP为平行四边形和四边形BMPQ为平行四边形两种情况考虑：（i）当四边形BMQP为平行四边形时，过点B作BP1∥AC，交抛物线于点P1，由直线AC的解析式结合点B的坐标可得出直线BP1的解析式，联立直线BP1和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可得出点P1的横坐标；（ii）当四边形BMPQ为平行四边形时，过点A作AD∥y轴，交直线BM于点D，易求点D的坐标为（﹣5，4），过点D作直线P2P3∥AC，交抛物线于点P2，P3，由直线AC的解析式结合点D的坐标可得出直线P2P3的解析式，联立直线P2P3和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P2，P3的横坐标；

②作BC的垂直平分线l，垂足为E，交AC于点M1，作BN⊥AC于点N，作点M1关于点N的对称点M2，M1，M2符合条件，由点B，C的坐标可求出直线BC的解析式及点E的坐标，结合直线l⊥BC可求出直线l的解析式，联立直线l和直线AC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点M1的坐标；由直线AC的解析式、点B的坐标及BN⊥AC可求出直线ON的解析式，联立直线ON和直线AC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，再结合点N为线段M1M2的中点可求出点M2的坐标．

（1）当x＝0时，y＝x+5＝5，

∴点C的坐标为（0，5）；

当y＝0时，x+5＝0，

解得：x＝﹣5，

∴点A的坐标为（﹣5，0）．

将A（﹣5，0），C（0，5）代入y＝ax2+6x+c，得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝x2+6x+5．

（2）当y＝0时，x2+6x+5＝0，

解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，

∴点B的坐标为（﹣1，0）．

①∵PQ∥BM，

∴分两种情况考虑，如图1所示：

（i）当四边形BMQP为平行四边形时，过点B作BP1∥AC，交抛物线于点P1．

∵直线AC的解析式为y＝x+5，

∴设直线BP1的解析式为y＝x+b，

将B（﹣1，0）代入y＝x+b，得：﹣1+b＝0，

解得：b＝1，

∴直线BP1的解析式为y＝x+1．

联立直线BP1和抛物线的解析式成方程组，得：，

解得：，，

∴点P1的横坐标为﹣4；

（ii）当四边形BMPQ为平行四边形时，过点A作AD∥y轴，交直线BM于点D，过点D作直线P2P3∥AC，交抛物线于点P2，P3．

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝45°．

∵BM⊥AC，DA⊥AB，

∴∠AMB＝90°，∠ABM＝45°，∠ADM＝45°．

在△AMD和△AMB中，，

∴△AMD≌△AMB（AAS），

∴AD＝AB，DM＝BM．

∴点D的坐标为（﹣5，4）．

又∵直线AC的解析式为y＝x+5，

∴直线P2P3的解析式为y＝x+9．

联立直线P2P3和抛物线的解析式成方程组，得：，

解得：，，

∴点P2的横坐标为，点P3的横坐标为．

综上所述：点P的横坐标为﹣4，或．

（3）作BC的垂直平分线l，垂足为E，交AC于点M1，作BN⊥AC于点N，作点M1关于点N的对称点M2，M1，M2符合条件．如图2所示．

∵点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5），

∴点E的坐标为（﹣，），直线BC的解析式为y＝5x+5，

∴直线l的解析式为y＝﹣x+．

联立直线l和直线AC的解析式成方程组，得：，

解得：，

∴点M1的坐标为（，）．

∵直线AC的解析式为y＝x+5，点B的坐标为（﹣1，0），BN⊥AC，

∴直线ON的解析式为y＝﹣x﹣1．

联立直线ON和直线AC的解析式成方程组，得：，

解得：，

∴点N的坐标为（﹣3，2）．

又∵点N为线段M1M2的中点，

∴点M2的坐标为（，）．

∴点M的坐标为（，）或（，）．