Question

【题目】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确都有（　　）个．

①QB＝QF；②AE⊥BF；③；④；④S四边形ECFG＝2S△BGE

A.5B.4C.3D.2

Answer 1

【答案】C

【解析】

①△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB；
②首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；
③利用等面积法求得BG的长度；
④利用QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；
⑤根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．

解：①根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°

∵CD∥AB，

∴∠CFB＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠PFB，

∴QF＝QB，故正确；

②∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF，故正确；

③由②知，△ABE≌△BCF，则AE＝BF＝，

∵AE⊥BF

∴ABBE＝AEBG，故BG＝．

故错误；

④由①知，QF＝QB，

令PF＝k（k＞0），则PB＝2k

在Rt△BPQ中，设QB＝x，

∴x2＝（x﹣k）2+4k2，

∴x＝，

∴sin∠BQP＝，故正确；

⑤∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，

∴△BGE∽△BCF，

∵BE＝BC，BF＝BC，

∴BE：BF＝1：，

∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，

∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故错误．

综上所述，共有3个结论正确．

故选C．