题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=-
x+6
交x轴、y轴于A、B两点，点M（m，n）是线段AB上一动点，点C是线段OA的三等分点．
（1）求点C的坐标；
（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A′C′M．
①当BM=
AM时，连接A′C、AC′，若过原点O的直线l2将四边形A′CAC′分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
②过点A′作A′H⊥x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A′、H、C、M构成的四边形为梯形？
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（1）求点C的坐标；
（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A′C′M．
①当BM=
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②过点A′作A′H⊥x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A′、H、C、M构成的四边形为梯形？
（1）根据题意：A（6，0），B（0，6
）
∵C是线段OA的三等分点
∴C（2，0）或C（4，0）
（2）①如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
则△BMN∽△BAO
∵BM=
AM
∴BM=
BA
∴BN=
BO
∴N（0，4
）
∵点M在直线y=-
x+6
上
∴M（2，4
）
∵△A'C'M是由△ACM绕点M旋转180°得到的
∴A'C'∥AC
∴无论是C1、C2点，四边形A'CAC'是平行四边形且M为对称中心
∴所求的直线l2必过点M（2，4
）
∴直线l2的解析式为：y=2
x
②当C1（2，0）时，
第一种情况：H在C点左侧
若四边形A'HC1M是梯形
∵A'M与HC1不平行
∴A'H∥MC1此时M（2，4
）
第二种情况：H在C点右侧
若四边形A'C1HM是梯形
∵A'M与C1H不平行
∴A'C1∥HM
∵M是线段AA'的中点
∴H是线段AC1的中点
∴H（4，0）
由OA=6，OB=6
∴∠OAB=60°
∴点M的横坐标为5
∴M（5，
）
当C2（4，0）时，同理可得
第一种情况：H在C2点左侧时，M（4，2
）
第二种情况：H在C2点右侧时，M（
，
）
综上所述，所求M点的坐标为：M（2，4
），M（5，
），M（4，2
）或M（
，
）．
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∵C是线段OA的三等分点
∴C（2，0）或C（4，0）
（2）①如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
则△BMN∽△BAO
∵BM=
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∴BM=
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∴BN=
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∴N（0，4
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∵点M在直线y=-
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∴M（2，4
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∵△A'C'M是由△ACM绕点M旋转180°得到的
∴A'C'∥AC
∴无论是C1、C2点，四边形A'CAC'是平行四边形且M为对称中心
∴所求的直线l2必过点M（2，4
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∴直线l2的解析式为：y=2
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②当C1（2，0）时，
第一种情况：H在C点左侧
若四边形A'HC1M是梯形
∵A'M与HC1不平行
∴A'H∥MC1此时M（2，4
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第二种情况：H在C点右侧
若四边形A'C1HM是梯形
∵A'M与C1H不平行
∴A'C1∥HM
∵M是线段AA'的中点
∴H是线段AC1的中点
∴H（4，0）
由OA=6，OB=6
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∴∠OAB=60°
∴点M的横坐标为5
∴M（5，
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当C2（4，0）时，同理可得
第一种情况：H在C2点左侧时，M（4，2
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第二种情况：H在C2点右侧时，M（
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综上所述，所求M点的坐标为：M（2，4
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