Question

已知抛物线F：y=ax²+bx+c的顶点为P．
（Ⅰ）当a=1，b=-2，c=-3，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）设抛物线F：y=ax²+bx+c与y轴交于点A，过点P作PD⊥x轴于点D．平移该抛物线使其经过点A、D，得到抛物线F：y=a′x²+b′x+c′（如图所示）．若a、b、c满足了b²=2ac，求b：b′的值；
（Ⅲ）若a=3，b=2，且当-1＜x＜1时，抛物线F与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=1、b=-2、c=-3时
y=x²-2x-3
=（x-1）²-4，
当y=0时，（x-1）²-4=0，
（x-1）²=4
则x-1=2或x-1=-2
∴x₁=3，x₂=-1，
∴P（1，-4）与x轴的交点坐标（3，0）（-1，0）；

（Ⅱ）由题意可知A（0，c），P（，）
∴D（，0）
∵平移得到y=a'x²+b'x+c'
∴a=a′，
∴y=a'x²+b'x+c'经过（0，c），（，0），
∴，
∴，
∴b²-2bb'+4ac=0，
∵b²=2ac，
∴b²-2bb'+2b²=0，
∴3b²=2bb′，
∴3b=2b′，
∴b：b′=；

（Ⅲ））∵抛物线与x轴有公共点，
∴对于方程3x²+2x+c=0，判别式△=4-12c≥0，
∴c≤．
①当c=时，由方程3x²+2x+=0，
解得x₁=x₂=-．此时抛物线为y=3x²+2x+与x轴只有一个公共点（，0）；
②当c＜时，
x₁=-1时，y₁=3-2+c=1+c；
x₂=1时，y₂=3+2+c=5+c；
由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=-，
应有y₁≤0，且y₂＞0即1+c≤0，且5+c＞0．
解得：-5＜c≤-1．
综合①，②得c的取值范围是：c=或-5＜c≤-1．
分析：（Ⅰ）利用配方法得出y=（x-1）²-4，当y=0时，（x-1）²-4=0，求出x的值，即可得出抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）两个抛物线的开口方向和开口大小都相同，那么a=a′；它们与y轴交于同一点，那么c=c′；将D的坐标代入抛物线F′的解析式中，先求出b′，再求b：b′的值．
（Ⅲ）分3种情况．第1种：△=0，c=；
第2种：把x=-1代入函数使y大于0，且把x=1代入函数，使y小于0，解这个不等式，可得c的取值范围；
第3种：把x=-1代入函数使y小于0，且把x=1代入函数，使y大于0，解这个不等式组，可得c的取值范围．
综合这三个结果即可得n的范围．在2，3种情况下必须保证△大于0．
点评：此题主要考查的是函数图象的平移问题以及不等式组的解，弄清楚抛物线在平移过程中，各系数的变化情况是解答此类问题的关键所在．